Η Έμμυ Νούτερ(Amalie ‘Emmy’ Noether/23 Μάρτη 1882 – 14 Απρίλη 1935), ήτανε πολύ σημαντική Γερμανοεβραία φυσικομαθηματικός και συγγραφέας, γνωστή για τη μελέτη της στην αφηρημένη άλγεβρα και τη θεωρητική φυσική. Αναφέρεται από τους Πάβελ Αλεξανδρώφ, Άλμπερτ Αϊνστάιν, Jean Dieudonné, Hermann Weyl, Νόρμπερτ Βίνερ κι άλλους ως η πιο σημαντική γυναίκα στην ιστορία των μαθηματικών που επέφερε ριζικές αλλαγές στις θεωρίες των δακτυλίων, των σωμάτων και των αλγεβρικών δομών. Στη φυσική, το θεώρημά της εξηγεί τη θεμελιώδη σχέση μεταξύ συμμετρίας και των νόμων διατήρησης.
Η Έμι Νούτερ γεννήθηκε στο Έρλανγκεν στις 23 Μάρτη 1882 όντας 1ο από 4 παιδιά. Το 1ο της όνομα ήταν Αμαλία, από τ’ όνομα της μητέρας της και της γιαγιάς της (εκ του πατρός), αλλά σε νεαρή ηλικία άρχισε να χρησιμοποιεί το μεσαίο όνομά της. Ως κορίτσι, ήταν ιδιαίτερα συμπαθής. Δεν ξεχώριζε για τις ακαδημαϊκές της γνώσεις, αλλά για την εξυπνάδα και τη φιλικότητα της. Είχε προβλήματα όρασης και τραυλισμού κατά τη παιδική ηλικία. Ένας οικογενειακός φίλος διηγήθηκε χρόνια αργότερα μια ιστορία από τα χρόνια που η Έμι ήταν νέα, όπου επέλυσε γρήγορα μια σπαζοκεφαλιά σε παιδικό πάρτι, δείχνοντας το λογικό της δαιμόνιο σε τόσο μικρή ηλικία. Ήταν μαθημένη να μαγειρεύει και να καθαρίζει, όπως και τα περισσότερα κορίτσια της εποχής κι επίσης παρακολουθούσε μαθήματα πιάνου. Δεν ακολούθησε καμία από αυτές τις δραστηριότητες με πάθος, αν και λάτρευε να χορεύει.
Ο πατέρας της Μαξ Νούτερ, καταγόταν από οικογένεια εμπόρων στη Γερμανία. Είχεν υποστεί παράλυση από πολιομυελίτιδα όταν ήταν 14. Ανέκτησε και πάλι την κινητικότητα του, αλλά το ένα πόδι δεν επανήλθε πλήρως. Σε μεγάλο βαθμό αυτοδίδακτος του είχεν απονεμηθεί διδακτορικό δίπλωμα από το Πανεπιστήμιο της Χαϊδελβέργης το 1868. Μετά από τη διδασκαλία εκεί για 7 έτη, πήρε μια θέση στη βαυαρική πόλη του Έρλαγκεν, όπου γνώρισε και παντρεύτηκε την Ίντα Αμαλία Κάουφμαν, κόρη ενός εύπορου εμπόρου και μαζί αποκτήσανε 3 παιδιά, μεταξυ των οποίων και την Έμμυ. Η συνεισφορά του Νούτερ στα μαθηματικά ήτανε κυρίως στην αλγεβρική γεωμετρία, ακολουθώντας τα βήματα του Alfred Clebsch. Η πιο γνωστή του δουλειά είναι το θεώρημα Brill-Νoether και το υπόλοιπο, ή το θεώρημα AF + BG, ενώ υπάρχουνε διάφορα άλλα θεωρήματα που συνδέονται με αυτό, όπως το θεώρημα του Μαξ Νούτερ.
Η οικογένεια Νούτερ
Είχε τρία μικρότερα αδέρφια. Ο μεγαλύτερος, ο Άλφρεντ, γεννήθηκε το 1883, το 1909 του απονεμήθηκε από το Έρλαγκεν διδακτορικό στη χημεία, αλλά πέθανε 9 έτη μετά. Ο Φριτζ, που γεννήθηκε το 1884, έχει μείνει στην ιστορία για τα ακαδημαϊκά επιτεύγματά του: μετά από σπουδές στο Μόναχο απέκτησε φήμη στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Ο νεώτερος, Γκούσταβ Ρόμπερτ, γεννήθηκε το 1889. Πολύ λίγα πράγματα είναι γνωστά για τη ζωή του, όπως το ότι έπασχε από χρόνια ασθένεια και πέθανε το 1928.
Απέκτησε από νωρίς επάρκεια σε Γαλλικά κι Αγγλικά.Την άνοιξη του 1900 συμμετείχε στις εξετάσεις για καθηγητές αυτών των γλωσσών κι έλαβε πολύ καλή συνολική βαθμολογία. Η απόδοσή της της έδινε τη δυνατότητα να διδάξει τις γλώσσες αυτές σε σχολεία που προορίζονταν για κορίτσια, ωστόσο επέλεξε να συνεχίσει τις σπουδές της στα μαθηματικά, στο Πανεπιστήμιο του Έρλαγκεν, όπου δίδασκεν ο πατέρας της. Αυτή ήταν αντισυμβατική απόφαση, διότι 2 έτη νωρίτερα η Ακαδημαϊκή Σύγκλητος του πανεπιστημίου είχε δηλώσει, ότι το να επιτραπεί η εκπαίδευση και στα δύο φύλα θα ανέτρεπε όλη την ακαδημαϊκή τάξη.
Ως μία από τις 2 μόλις γυναίκες που φοιτούσανε σε πανεπιστήμιο 986 ατόμων, επιτρεπόταν να παρακολουθεί μόνο τα μαθήματα κι όχι να συμμετέχει όπως κι οι υπόλοιποι φοιτητές κι επιπλέον έπρεπε να ζητήσει την άδεια του κάθε καθηγητή χωριστά στου οποίου τις διαλέξεις επιθυμούσε να παρευρίσκεται. Παρόλα τα εμπόδια, στις 14 Ιουνίου 1903 κατάφερε να περάσει τις εξετάσεις αποφοίτησης του Realgymnasium στη Νυρεμβέργη. Στη διάρκεια του χειμερινού εξαμήνου το 1903-1904, σπούδασε στο Πανεπιστήμιο του Γκέντινγκεν, παρακολουθώντας διαλέξεις του αστρονόμου Καρλ Σβάρτσιλντ και των μαθηματικών Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein, και David Hilbert. Λίγο αργότερα οι περιορισμοί σχετικά με τη συμμετοχή των γυναικών στο πανεπιστήμιο αυτό ακυρώθηκαν.
Η Νούτερ επέστρεψε στο Erlangen. Εκεί επίσημα ξαναμπήκε στο πανεπιστήμιο στις 24 Οκτώβρη 1904 κι ανακοίνωσε την απόφασή της να επικεντρωθεί αποκλειστικά στα μαθηματικά. Υπό την επίβλεψη του Paul Gordan έγραψε την διατριβή της Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Σε πλήρη συστήματα αμετάβλητων για τριαδικές τεταρτοβάθμιες μορφές, 1907). Αν κι είχε καλήν αποδοχή, αργότερα περιέγραψε τη διατριβή της ως αποτυχία. Μετά την ολοκλήρωση της διατριβής της, εργάστηκε στο Ινστιτούτο Μαθηματικών του Έρλαγκεν άνευ αποδοχών για 7 έτη (εκείνο τον καιρό ήταν πολύ ασυνήθιστο οι γυναίκες να κατέχουν ακαδημαϊκές θέσεις). Μερικές φορές αντικαθιστώντας τον πατέρα της όταν ήτανε πολύ άρρωστος για να διδάξει. Το 1910 και το 1911 δημοσίευσε μια επέκταση της διπλωματικής εργασίας της από 3 σε ν μεταβλητές.
Σύμφωνα με τον Hermann Weyl, ο Fischer είχε σημαντικήν επιρροή στη Νούτερ, ιδίως με την εισαγωγή της στο έργο του David Hilbert. Το 1913-1916 δημοσιεύει πολλά άρθρα επεκτείνοντάς την κι εφαρμόζοντας τις μεθόδους του Hilbert για τα μαθηματικά αντικείμενα, όπως πεδία των πραγματικών συναρτήσεων κι αμετάβλητες των πεπερασμένων συνόλων. Αυτή η φάση σηματοδοτεί την έναρξη της εμπλοκής της με την αφηρημένη άλγεβρα, το πεδίο των μαθηματικών στο οποίο θα συνεισέφερε πρωτοποριακά Το 1915, προσκλήθηκε από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Felix Klein για να ενταχθεί στο τμήμα μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν, ενός παγκοσμίου φήμης κέντρου της μαθηματικής έρευνας. Όμως η φιλοσοφική σχολή έφερε αντιρρήσεις. Η προσπάθειά τους να τη προσλάβουν, είχεν αποκλειστεί από τους φιλολόγους κι ιστορικούς της φιλοσοφικής σχολής: επέμεναν πως οι γυναίκες, δε θα ‘πρεπε να γίνουνε λέκτορες. Ένα μέλος της σχολής διαμαρτυρήθηκε λέγοντας “Τι θα σκεφτούν οι στρατιώτες μας όταν επιστρέψουν στο πανεπιστήμιο και δουν ότι είναι υποχρεωμένοι να μάθουν υπό την διδασκαλία μιας γυναίκας“; Ο Hilbert απάντησε με αγανάκτηση, δηλώνοντας, “δεν βλέπω ότι το φύλο της υποψηφίου αποτελεί επιχείρημα κατά της εισδοχής της ως privatdozent. Εξάλλου, είμαστε ένα πανεπιστήμιο, όχι ένα μπάνιο“, κι έτσι αυτή πέρασε 4 έτη διδάσκοντας υπό το όνομα του Χίλμπερτ. Η εξουσιοδότηση της εγκρίθηκε το 1919, επιτρέποντάς της να αποκτήσει το βαθμό του Privatdozent (λέκτορα).
χρησιμοποioύσε καρτ-ποστάλ με αφηρημένη άλγεβρα
με συνάδελφό της Ernst Fischer. σφραγ. ταχ. 10 Απρίλη 1915.
Η Νούτερ έφυγε για το Γκέτινγκεν τέλη Απρίλη. 2 βδομάδες μετά, η μητέρα της πέθανε ξαφνικά στο Erlangen. Είχε προηγουμένως λάβει ιατρική φροντίδα για μια πάθηση των ματιών, αλλά το είδος της θεραπείας κι η επίδραση στο θάνατό της τελικά είναι άγνωστη. Περίπου την ίδια περίοδο ο πατέρας της αποσύρθηκε κι ο αδελφός της εντάχθηκε στο γερμανικό στρατό για να υπηρετήσει στον Α’ Παγκ. Πόλ.. Επέστρεψε στο Erlangen για αρκετές εβδομάδες, κυρίως για να φροντίσει τον ηλικιωμένο πατέρα της. Στα 1α χρόνια της διδασκαλίας της στο Γκέτινγκεν δεν είχε επίσημη θέση και δεν πληρωνόταν. Η οικογένειά της πλήρωνε για τη διαμονή της εκεί κι υποστήριζε το ακαδημαϊκό έργο της. Οι διαλέξεις της συχνά διαφημιζόνταν υπό το όνομα του Hilbert κι εκείνη παρείχε… “βοήθεια”.
Λίγο μετά την άφιξή της στο Γκέτινγκεν, ωστόσο, απέδειξε κι επέδειξε τις δυνατότητές της αποδεικνύοντας ένα θεώρημα που είναι τώρα γνωστό ως θεώρημα Νούτερ, το οποίο δείχνει ότι ένας νόμος διατήρησης συνδέεται με οποιαδήποτε διαφορίσιμη συμμετρία ενός φυσικού συστήματος. Οι Αμερικανοί φυσικοί Leon M. Lederman και Christopher T. Hill υποστηρίζουν στο βιβλίο τους Συμμετρία και το όμορφο Σύμπαν ότι “το θεώρημά της είναι σίγουρα ένα από τα πιο σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα που αποδείχθηκαν ποτέ στη καθοδήγηση της ανάπτυξης της σύγχρονης φυσικής, ενδεχομένως στο ίδιο επίπεδο με το Πυθαγόρειο θεώρημα“. 3 έτη μετά, έλαβε επιστολή από τον Πρώσσο Υπουργό Επιστήμης, Τέχνης και Δημόσιας Εκπαίδευσης, στην οποία της απονέμει τον τίτλο της nicht beamteter ausserordentlicher professor (μη-μόνιμη καθηγήτρια με περιορισμένα εσωτερικά διοικητικά δικαιώματα και καθήκοντα). Αυτό ήταν μια άνευ αποδοχών έκτακτη θέση καθηγήτριας κι όχι η υψηλότερη θέση συνηθισμένου» καθηγητή, η οποία ήτανε θέση δημοσίου.
Παρά το γεγονός ότι αναγνώρισε τη σημασία του έργου της, η θέση της εξακολουθούσε να μη της παρέχει μισθό. Δεν πληρώθηκε για τις διαλέξεις της μέχρι που πήρε τη θέση της Lehrbeauftragte für Algebra το επόμενο έτος. Όταν o Α’ Παγκ. Πόλ., η Γερμανική Επανάσταση του 1918-1919 επέφερε σημαντική αλλαγή στη κοινωνική συμπεριφορά, καθώς και στα δικαιώματα των γυναικών. Το 1919 το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν επέτρεψε στην Νούτερ να προχωρήσει με την υφηγεσία της (υποψήφια για μονιμότητα). Η προφορική εξέταση πραγματοποιήθηκε τέλη Μάη και παρέδωσε με επιτυχία τη διάλεξη για την υφηγεσία της τον Ιούνιο. Αν και το θεώρημά της είχε βαθειάν επίδραση στη φυσική, μεταξύ των μαθηματικών, είναι καλλίτερα ενθυμούμενη για τη δημιουργική συμβολή της στην αφηρημένη άλγεβρα. Όπως λέει ο Nathan Jacobson στην εισαγωγή του στο Noether’s Collected Papers:
“Η ανάπτυξη της αφηρημένης άλγεβρας, που είναι ένα από τις πιο χαρακτηριστικές καινοτομίες του 20στού αιώνα στα μαθηματικά, οφείλεται σε μεγάλο βαθμό σε εκείνη -στις δημοσιευμένες εργασίες, διαλέξεις και στη προσωπική επιρροή της στους συγχρόνους της“.
Η πρωτοποριακή εργασία της στην άλγεβρα ξεκίνησε το 1920. Σε συνεργασία με τον W. Schmeidler, έκαναν μια δημοσίευση για τη θεωρία των ιδεωδών στην οποία ορίζουνε τα αριστερά και δεξιά ιδεώδη σε δακτύλιο. Το επόμενο έτος έκανε μια δημοσίευση-ορόσημο που ονομάζεται Idealtheorie Ringbereichen, αναλύοντας αύξουσες αλυσιδωτές καταστάσεις σε σχέση με τα ιδεώδη. Ο καταξιωμένος αλγεβριστής Irving Kaplansky αποκάλεσε αυτό το έργο επαναστατικό. Η δημοσίευση αυτή έδωσε αφορμή για τον όρο Νουτεριστικός δακτύλιος (Noetherian ring) και πολλά άλλα μαθηματικά αντικείμενα που ονομάζονται Νουτεριστικά.
Το 1924 ένας νεαρός Ολλανδός μαθηματικός, o B.L. van der Waerden, πήγε στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Αμέσως άρχισε να συνεργάζεται με τη Νούτερ, η οποία παρείχε πολύτιμες μεθόδους ως προς την αφηρημένη άλγεβρα. Ο Van der Waerden αργότερα είπε πως η πρωτοτυπία της ήταν απόλυτη και πέρα από κάθε σύγκριση. Το 1931 δημοσίευσε το Moderne Algebra, ένα κείμενο επικεντρωμένο στον τομέα. Ο 2ος τόμος του δανείστηκε σε μεγάλο βαθμό μέρος της εργασίας της. Αν κι εκείνη δεν επιδιώκει αναγνώριση, ο BL van der Waerden περιλαμβάνει ως σημείωση στην 7η έκδοση πως είναι βασισμένη εν μέρει σε διαλέξεις των Ε. Artin & E. Noether. Μερικές φορές είχε επιτρέψει σε συναδέλφους και φοιτητές της να χρησιμοποιήσουνε τις ιδέες της, βοηθώντας τους να αναπτύξουνε τη σταδιοδρομία τους σε βάρος της δικής της.
Η επίσκεψη του Van der Waerden ήταν μέρος μιας συγκλήτου μαθηματικών απ’ όλο τον κόσμο στο Γκέτινγκεν, το οποίον έγινε σημαντικό κέντρο μαθηματικής και φυσικής έρευνας. Τη περίοδο 1926-1930 ο Ρώσσος τοπολογιστής Pavel Alexandrov δίδαξε στο πανεπιστήμιο και γρήγορα έγινε καλός φίλος με τη Νούτερ. Ξεκίνησε ν’ αναφέρεται σε αυτήν ως “der Noether”, χρησιμοποιώντας το αρσενικό άρθρο στα Γερμανικά για να δείξει το σεβασμό του. Αυτή προσπάθησε να μεριμνήσει γι’ αυτόν να λάβει θέση στο Γκέτινγκεν ως τακτικός καθηγητής, αλλά κατάφερε μόνο να τονε βοηθήσει να εξασφαλίσει μια υποτροφία από το Ίδρυμα Ροκφέλερ. Συναντιώνταν τακτικά κι απολάμβαναν τις συζητήσεις σχετικά με τις διασταυρώσεις άλγεβρας και τοπολογίας. Το 1935 στο κείμενο του μνημόσυνου της ο Alexandrov την αποκάλεσε ως “τη μεγαλύτερη γυναίκα μαθηματικό όλων των εποχών“.
Στο Γκέτινγκεν, επιτηρεί μεγάλον αριθμό υποψήφιων διδακτόρων. Η 1η της ήταν η Grete Hermann, που υπερασπίστηκε τη διατριβή της το Φλεβάρη του 1925. Αργότερα μίλησε ευλαβικά ως προς αυτήν αναφέροντας την ως μητέρα της διατριβής της. Επιτήρησεν επίσης τον Max Deuring, που διακρίθηκε ως προπτυχιακός φοιτητής και στη συνέχεια συνέβαλε σημαντικά στον τομέα της αριθμητικής γεωμετρίας, τον Hans Fitting, γνωστό για το θεώρημα του Fitting (Fitting’s theorem) και τo Λήμμα του Fitting (Fitting lemma), και τον Zeng Jiongzhi (γνωστός ως Chiungtze C. Tsen στο αγγλικά), ο οποίος απέδειξε το θεώρημα Tsen (Tsen’s Theorem). Συνεργάστηκεν επίσης στενά με τον Wolfgang Krull, που προώθησε σε μεγάλο βαθμό την αντιμεταθετική άλγεβρα με τη Hauptidealsatz και τη θεωρία διάστασής του για αντιμεταθετικούς δακτυλίους.
Εκτός από τις μαθηματικές γνώσεις της, είχε το σεβασμό των υπολοίπων για τη συμπεριφορά της προς τους άλλους. Αν και μερικές φορές εκφραζόταν με αγένεια προς εκείνους που διαφωνούσαν μαζί της, κέρδισε φήμη για τη συνεχή εξυπηρετικότητα κι υπομονετική καθοδήγηση των νέων φοιτητών. Η αφοσίωσή της στη μαθηματικήν ακρίβεια προκάλεσε ένα συνάδελφο να την αποκαλέσει σοβαρή κριτικό, αλλά συνδύαζε αυτό το αίτημα για ακρίβεια με αισιόδοξη κι ελπιδοφόρα στάση. ‘Ένας συνάδελφος τη περιέγραψε αργότερα έτσι:. “Καθόλου εγωιστικός χαρακτήρας και χωρίς ματαιοδοξία, ποτέ δεν ισχυρίστηκε τίποτα για τον εαυτό της, ούτε διεκδίκησε, αλλά προώθησε τα έργα των μαθητών της πάνω απ’όλα“. Η λιτή ζωή της στην αρχή ήτανε λόγω του ότι αρνήθηκε αμοιβή για το έργο της. Ωστόσο, ακόμη κι όταν άρχισε να πληρώνεται ένα μικρό μισθό από το πανεπιστήμιο το 1923, συνέχισε να ζει απλή και ταπεινή ζωή. Πληρώθηκε πιο γενναιόδωρα αργότερα στη ζωή της, αλλά κληροδότησε το ήμισυ του μισθού της στον ανιψιό της, Gottfried E. Noether.
Κυρίως αδιάφορη για την εμφάνιση και τους τρόπους της, επικεντρώθηκε στις μελέτες της κι απέκλεισε το ρομαντισμό και τη μόδα. Μια διακεκριμένη της άλγεβρας, η Olga Taussky-Todd περιγράφει ένα γεύμα, στη διάρκεια του οποίου η Νούτερ πλήρως απορροφημένη σε μια μαθηματική συζήτηση, εκφραζόταν με άγριο τρόπο καθώς έτρωγε και της έπεφτε το φαγητό συνεχώς και το σκούπιζε από το φόρεμά της, εντελώς ατάραχη. Φοιτητές που ήτανε προσεκτικοί με την εμφάνιση μαζεύονταν από φόβο καθώς η ίδια έπαιρνε το μαντήλι από τη μπλούζα της κι αγνοούσε το ανακατεμένο της μαλλί κατά τη διάρκεια των διαλέξεων. 2 μαθήτριες τη πλησιάσανε μια φορά κατά τη διάρκεια του διαλείμματος ενός 2ωρου μαθήματος για να εκφράσουνε την ανησυχία τους, αλλά δεν ήταν σε θέση να της τραβήξουνε τη προσοχή από την ενεργητική μαθηματική συζήτηση που είχε με άλλους μαθητές.
Σύμφωνα με τη νεκρολογία του Van der Waerden για την Έμι Νέτερ, δεν ακολουθούσε ένα πλάνο για τις διαλέξεις της, πράγμα το οποίο απογοήτευε μερικούς μαθητές. Αντ ‘αυτού, χρησιμοποιούσε τις διαλέξεις της ως ώρες αυθόρμητης συζήτησης με τους μαθητές της για να σκέφτεται και να διευκρινίζει σημαντικά μαθηματικά προβλήματα της τότε εποχής. Μερικά από τα πιο σημαντικά αποτελέσματά της αναπτυχθήκανε σ’ αυτές τις διαλέξεις, καθώς κι οι σημειώσεις από τις διαλέξεις των μαθητών της αποτελέσανε τη βάση για πολλά σημαντικά βιβλία, όπως αυτά των Van der Waerden και Deuring.
Παρέμεινε ηγετικό στέλεχος του Τμήματος Μαθηματικών του Γκέτινγκεν μέχρι το 1933. Οι μαθητές της ήταν γνωστοί και ως “αγόρια της Νέτερ”. Το 1924, ο Ολλανδός μαθηματικός BL van der Waerden εντάχθηκε στον κύκλο της και σύντομα έγινε ο κορυφαίος εκφραστής των ιδεών της Νέτερ. Το έργο της ήταν η βάση για το δεύτερο τόμο του επιδραστικού βιβλίου του το 1931, Moderne Algebra. Όταν ανέλαβε τη διεύθυνση της ολομέλειας το 1932 στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ζυρίχη, το αλγεβρικό της δαιμόνιο είχε αναγνωριστεί σε όλο τον κόσμο. Το επόμενο έτος, η κυβέρνηση της ναζιστικής Γερμανίας καθαίρεσε τους Εβραίους από πανεπιστημιακές θέσεις κι αυτή μετακόμισε στις ΗΠΑ για να αναλάβει θέση στο Bryn Mawr College στη Πενσυλβάνια. Το 1935, υποβλήθηκε σε χειρουργική επέμβαση για μια κύστη στις ωοθήκες και παρά τα σημάδια ανάκαμψης, πέθανε 4 μέρες αργότερα σε ηλικία 53 ετών.
Το μαθηματικό έργο της έχει χωριστεί σε 3 εποχές. Στη 1η (1908-1919), συνεισέφερε σε μεγάλο βαθμό στις θεωρίες των αλγεβρικών αναλλοίωτων και των αριθμητικών σωμάτων. Το έργο της πάνω στους διαφορικούς αναλλοίωτους του λογισμού των συναρτήσεων, το θεώρημα Νούτερ, έχει χαρακτηριστεί ως έν από τα πιο σημαντικά μαθηματικά θεωρήματα που αποδείχθηκε ποτέ στη καθοδήγηση της ανάπτυξης της σύγχρονης φυσικής. Στη 2η (1920-1926), ξεκίνησεν έργο που άλλαξε το πρόσωπο της αφηρημένης άλγεβρας. Στη κλασσική της δημοσίευση Idealtheorie in Ringbereichen (θεωρία των ιδεωδών σε χώρους δακτυλίων, 1921) ανέπτυξε τη θεωρία των ιδεωδών στους αντιμεταθετικούς δακτυλίους σε ισχυρό εργαλείο με μεγάλο εύρος εφαρμογών. Έκανε κομψή χρήση της συνθήκης ανερχόμενης αλυσίδας και τα αντικείμενα που την ικανοποιούν ονομάζονται Noetherian προς τιμή της. Στη 3η (1927-1935), δημοσίευσε σημαντικά έργα στη μη μεταθετική άλγεβρα και τους υπερσύμπλοκους αριθμούς κι ένωσε τη θεωρία της αναπαράστασης ομάδων με τη θεωρία των συνόλων και των ιδανικών. Εκτός από τις δικές της εκδόσεις, ήτανε γενναιόδωρη με τις ιδέες της και πιστώνεται με πολλές γραμμές της σε έρευνες που δημοσιευθήκαν από άλλους μαθηματικοούς, ακόμη και σε τομείς πολύ διαφορετικούς από το κύριο έργο της, όπως η αλγεβρική τοπολογία.
Αρκετοί από τους συναδέλφους της παρακολούθησαν διαλέξεις της κι επέτρεψε κάποιες από τις ιδέες της, όπως το εξωτερικό γινόμενο (verschränktes Produkt στα γερμανικά) της προσεταιριστικής άλγεβρας, να δημοσιευτούν από άλλους. Είχε δε, διδάξει τουλάχιστον 5 6μηνιαία μαθήματα στο Γκέτινγκεν:
* Χειμώνας 1924/25: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Group Theory and Hypercomplex Numbers)
* Χειμώνας 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Hypercomplex Quantities and Representation Theory)
* Καλοκαίρι 1928: Nichtkommutative Algebra (Noncommutative Algebra)
* Καλοκαίρι 1929: Nichtkommutative Arithmetik (Noncommutative Arithmetic)
* Χειμώνας 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen (Algebra of Hypercomplex Quantities).
Τα μαθήματα αυτά συχνά προηγήθηκαν σημαντικών δημοσιεύσεων σε αυτούς τους τομείς.
Μιλούσε γρήγορα, γεγονός που αντικατοπτρίζει τη ταχύτητα της σκέψης της, πολλοί λέγανε πως κι απαιτούσε μεγάλη συγκέντρωση από τους μαθητές της. Οι μαθητές που δεν τους άρεσε το στυλ της συχνά αισθάνονταν αποξενωμένοι. Μερικοί μάλιστα θεωρούσαν ότι βασιζόταν υπερβολικά σε αυθόρμητες συζητήσεις. Οι πιο αφοσιωμένοι μαθητές της όμως απολαμβάνανε τον ενθουσιασμό με τον οποίο προσέγγιζε τα μαθηματικά, ειδικά επειδή οι διαλέξεις τις συχνά βασίζονταν σε προηγούμενες εργασίες που ‘χανε κάνει μαζί. Ανέπτυξε στενό κύκλο συναδέλφων και φοιτητών που σκέφτονταν με τον ίδιο τρόπο κι απέκλεισε τους άλλους. Εξωτερικοί επισκέπτες των διαλέξεών της συνήθως έμεναν μόνο 30 λεπτά στην αίθουσα πριν αναχωρήσουν απογοητευμένοι ή συγχυσμένοι. Ένας τακτικός μαθητής είχε πει σε μία τέτοια περίπτωση: “Ο εχθρός ηττήθηκε -έχει φύγει“. Έδειχνε αφοσίωση στο αντικείμενο και τους μαθητές της πέραν της ακαδημαϊκής ημέρας. Κάποτε, όταν το κτίριο έκλεισε για μιαν αργία, συγκέντρωσε τη τάξη έξω στα σκαλιά, τους οδήγησε μες στο δάσος και δίδαξε σε τοπικό καφέ. Αργότερα, αφού είχεν απορριφθεί από το Τρίτο Ράιχ, προσκάλεσε τους μαθητές στο σπίτι της για να συζητήσουνε τα μελλοντικά τους σχέδια και μαθηματικές έννοιες.
Το χειμώνα του 1928-1929 δέχτηκε πρόσκληση για το Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, όπου συνεργάστηκε με τον P.S. Alexandrov. Εκτός από τη συνέχιση της έρευνάς της, δίδαξε μαθήματα αφηρημένης άλγεβρας κι αλγεβρικής γεωμετρίας. Εργάστηκε με τους τοπολογιστές Lev Pontryagin και Nikolai Chebotaryov, που αργότερα επικρότησαν τη συνεισφορά της στην ανάπτυξη της θεωρίας Γκαλουά. Παρά το γεγονός ότι η πολιτική δεν την ενδιέφερε και ποτέ ιδιαίτερα, ανέπτυξε έντονο ενδιαφέρον για τα πολιτικά ζητήματα και σύμφωνα με τον Alexandrov, έδειξε σημαντική υποστήριξη στη Ρωσική Επανάσταση (1917). Ήταν ιδιαίτερα ευτυχής όταν είδε σοβιετική ανάπτυξη στους τομείς της επιστήμης και των μαθηματικών, που θεωρεί ενδεικτικό των νέων ευκαιριών που γίνανε δυνατές από το έργο των Μπολσεβίκων. Η στάση της αυτή προκάλεσε προβλήματα στη Γερμανία, με αποκορύφωμα την έξωση της από ένα ξενοδοχείο, αφού οι ηγέτες των φοιτητών παραπονέθηκαν ότι ζουν με μια Μαρξίστρια Εβραία. Προγραμμάτισε να επιστρέψει στη Μόσχα, προσπάθεια που υποστήριξε ο Alexandrov. Αφού έφυγε από τη Γερμανία το 1933, προσπάθησε να τη βοηθήσει ν’ αποκτήσει θέση στο Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας από το Σοβιετικό Υπουργείο Παιδείας. Αν κι αυτή η προσπάθεια ήταν ανεπιτυχής, επικοινωνούσανε συχνά κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1930, και το 1935 έκανε σχέδια για την επιστροφή της στη Σοβιετική Ένωση. Εν τω μεταξύ, ο αδελφός της Φριτζ δέχτηκε μια θέση στο Ινστιτούτο Έρευνας για τα Μαθηματικά και Μηχανική στο Τομσκ, στη Σιβηρία της Ρωσίας, αφού έχασε τη δουλειά του στη Γερμανία.
Το 1932 η Νούτερ κι ο Emil Artin έλαβαν το βραβείο Ackermann-Teubner για τη συμβολή τους στα μαθηματικά. Το βραβείο ήτανε χρηματική αμοιβή 500 μάρκων και θεωρήθηκε ως αναμενόμενη επίσημη αναγνώριση του σημαντικού έργου της στον τομέα αυτό. Παρ όλα αυτά, οι συνάδελφοί της εξέφρασαν την απογοήτευσή τους για το γεγονός ότι δεν εξελέγη στο Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (ακαδημία των επιστημών) και ποτέ δεν προήχθη στη θέση του Ordentlicher Professor (καθηγητής). Οι συνάδελφοί της γιόρτασαν τα 50στά της γενέθλια της το 1932, σε παραδοσιακό στυλ μαθηματικών. Ο Helmut Hasse αφιέρωσε ένα άρθρο σε αυτήν στο Mathematische Annalen, όπου ο ίδιος επιβεβαίωσε την υποψία της ότι ορισμένες πτυχές της μη-αντιμεταθετικής άλγεβρας είναι απλούστερες από ότι κείνες της αντιμεταθετικής άλγεβρας, αποδεικνύοντας ένα μη-αντιμεταθετικό νόμο της αμοιβαιότητας. Αυτό την ικανοποίησε πάρα πολύ. Επίσης, της έστειλε ένα μαθηματικό αίνιγμα, το αίνιγμα των συλλαβών, το οποίο έλυσε αμέσως. Το αίνιγμα έχει χαθεί. Το Νοέμβρη του ίδιου έτους, εκφώνησε μεγάλη διάλεξη (Vortrag großer) με θέμα Υπερσύνθετα συστήματα σε σχέση με την αντιμεταθετική άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών στο Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών στη Ζυρίχη. Το συνέδριο παρακολούθησαν 800 άτομα, μεταξύ αυτών κι οι συνάδελφοί της Hermann Weyl, Edmund Landau και Wolfgang Krull. Υπήρχαν 420 επίσημες συμμετοχές κι 21 παρουσιάσεις. Προφανώς, η εξέχουσα θέση της ήταν μια αναγνώριση της σημασίας της συνεισφοράς της στα μαθηματικά. Το συνέδριο του 1932 περιγράφεται ως η μεγάλη στιγμή της καρριέρας της.
Το Έρλανγκεν γενέτειρά της, σε καρτ-ποστάλ της εποχής
Όταν ο Αδόλφος Χίτλερ έγινε καγκελάριος το Γενάρη του 1933, η ναζιστική δραστηριότητα σε όλη τη χώρα αυξήθηκε δραματικά. Στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν της Γερμανίας ο Φοιτητικός Σύλλογος οδήγησε την επίθεση στο “αντι-γερμανικό πνεύμα» που αποδιδόταν στους Εβραίους και βοηθήθηκε από ένα λέκτορα τον Werner Weber, πρώην φοιτητή της. Οι αντισημιτικές συμπεριφορές δημιούργησαν ένα κλίμα εχθρικό ως προς τους εβραίους καθηγητές. Ένας νεαρός διαδηλωτής φέρεται να ζήτησε: “Άριοι μαθητές θέλουν Άρια κι όχι εβραϊκά μαθηματικά“. Από τις 1ες ενέργειες του Χίτλερ ήταν ο Νόμος για την Αποκατάσταση του Επαγγελματικού Δημόσιου Τομέα που απομάκρυνε Εβραίους και πολιτικά ύποπτους δημόσιους υπαλλήλους (συμπεριλαμβανομένων των πανεπιστημιακών καθηγητών) από τις δουλειές τους αν δεν είχαν αποδείξει τη πίστη τους στη Γερμανία στον Α’ Παγκ. Πόλ. Τον Απρίλη του 1933 η Νούτερ έλαβε ειδοποίηση από το Πρωσσικό Υπουργείο Επιστημών, Τεχνών, και Δημόσιας Εκπαίδευσης που έγραφε: “Βάσει της παραγράφου 3 του Υπαλληλικού Κώδικα, της 7ης Απριλίου 1933 με τη παρούσα επιστολή σου αφαιρώ το δικαίωμα να διδάσκεις στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν“.
Αρκετοί από τους συναδέλφους της, συμπεριλαμβανομένων των Max Born και Richard Courant, είχαν επίσης ανακληθεί από τις θέσεις τους. Εκείνη αποδέχθηκε την απόφαση ήρεμα, παρέχοντας υποστήριξη στους άλλους κατά τη διάρκεια αυτής της δύσκολης χρονιάς. Ο Hermann Weyl αργότερα έγραψε: “Το θάρρος της Έμι Νούτερ, η ειλικρίνεια, η αδιαφορία για τη δική της μοίρα, το συμφιλιωτικό πνεύμα της, ήταν μέσω του μίσους και της μιζέριας, της απόγνωσης και της θλίψης που μας περιβέβαλλε, μια ηθική παρηγοριά“. Τυπικά παρέμεινε επικεντρωμένη στα μαθηματικά, συγκεντρώνοντας μαθητές στο διαμέρισμά της για να συζητήσουνε τη θεωρία κλάσης των σωμάτων. Όταν ένας από τους μαθητές της εμφανίστηκε με τη στολή της ναζιστικής παραστρατιωτικής οργάνωσης Sturmabteilung (SA), δεν έδειξε κανένα σημάδι ταραχής και σύμφωνα με πληροφορίες, ακόμη και γέλασε γι’ αυτό αργότερα.
Όπως δεκάδες πρoσφάτως άνεργοι καθηγητές άρχισαν να ψάχνουνε για θέσεις εκτός Γερμανίας, οι συνάδελφοί τους στις ΗΠΑ άρχισαν να παράσχουνε βοήθεια κι ευκαιρίες απασχόλησης σε αυτούς. Ο Αλμπερτ Αϊνστάιν κι ο Hermann Weyl είχανε διοριστεί στο Institute for Advanced Study στο Πρίνστον, ενώ άλλοι προσπάθησαν να βρουν ένα χορηγό για νόμιμη μετανάστευση. Η Νούτερ ήρθε σε επαφή με τους εκπροσώπους των 2 εκπαιδευτικών ιδρυμάτων, το Bryn Mawr College στις ΗΠΑ και το Somerville College στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης στην Αγγλία. Μετά από μια σειρά διαπραγματεύσεων με το Ίδρυμα Ροκφέλλερ, μια επιχορήγηση στο Bryn Mawr εγκρίθηκε για κείνη και πήρε μια θέση εκεί, αρχής γενομένης από του 1933.
Το φιλόξενο Bryn Mawr στο δειλινό
Στο Bryn Mawr συνάντησε την Anna Wheeler, που είχε σπουδάσει στο Γκέτινγκεν, λίγο πριν φτάσει εκεί. Μια άλλη πηγή στήριξης στο κολέγιο ήταν ο πρώην πρόεδρος του Bryn Mawr, ο Marion Edwards Park, ο οποίος κάλεσε με ενθουσιασμό τους μαθηματικούς της περιοχής για να δούνε τη Δρ. Νούτερ σε δράση! Μαζί με μια μικρή ομάδα μαθητών της δούλεψε γρήγορα μέσω του βιβλίου του Van der Waerden, Moderne Algebra I και σε τμήματα της Theorie του Erich Hecke (θεωρία αλγεβρικών αριθμών, 1908). Το 1934, άρχισε να δίνει διαλέξεις στο Institute for Advanced Study στο Πρίνστον κατόπιν πρόσκλησης των Abraham Flexner κι Oswald Veblen. Έχει επίσης συνεργαστεί κι επιτηρήσει με τους Abraham Albert και Harry Vandiver. Εν τούτοις, παρατήρησε σχετικά με το Princeton ότι δεν ήταν ευπρόσδεκτη στο πανεπιστήμιο των ανδρών, όπου τίποτα γυναικείο δεν γίνεται δεκτό. Η διαμονή της στις ΗΠΑ ήταν ευχάριστη, περιβαλλόμενη από υποστηρικτικούς συναδέλφους κι απορροφημένη στα αγαπημένα θέματά της. Το καλοκαίρι του 1934 για λίγο επέστρεψε στη Γερμανία να δεί τον Emil Artin Fritz και τον αδελφό της πριν φύγει για Τομσκ. Παρά το γεγονός ότι πολλοί από τους πρώην συναδέλφους της είχαν αναγκαστεί να φύγουν από τα πανεπιστήμια, ήτανε σε θέση να χρησιμοποιήσει τη βιβλιοθήκη ως μια ξένη μαθήτρια.
Τον Απρίλη του 1935 οι γιατροί ανακάλυψαν έναν όγκο στη λεκάνη της. Ανήσυχοι για τις επιπλοκές από τη χειρουργική επέμβαση, προτείνουνε μέρες ξεκούραση στο κρεβάτι πρώτα. Κατά την επέμβαση βρήκαν μια ωοθηκική κύστη στο μέγεθος ενός μεγάλου πεπονιού. Δύο μικρότεροι, καλοήθεις όγκοι στη μήτρα της εμφανίστηκαν και δεν αφαιρέθηκαν για να αποφευχθούν περαιτέρω χειρουργικές επεμβάσεις. Για 3 μέρες φαινόταν ν’ αναρρώνει κανονικά κι ανέρρωσε γρήγορα από τη κατάρρευση του κυκλοφορικού στη 4η. Στις 14 Απρίλη έπεσε αναίσθητη, η θερμοκρασία της αυξήθηκε σε 109 °F (42.8 °C), και πέθανε. “Δεν είναι εύκολο να πούμε τι είχε συμβεί στη Δρ Νούτερ, έγραψε ένας από τους γιατρούς. “Είναι πιθανό να υπήρχε κάποια μορφή ασυνήθιστης λοιμογόνου μόλυνσης, η οποία χτύπησε τη βάση του εγκεφάλου, όπου βρίσκονται τα κέντρα θερμοκρασίας“. Λίγες ημέρες μετά το θάνατό της, οι φίλοι της και συνεργάτες στο Bryn Mawr πραγματοποίησαν ένα μικρό μνημόσυνο στο σπίτι του College President Park. Ο Hermann Weyl κι ο Richard Brauer ταξίδεψαν από το Πρίνστον και μίλησαν με τους Wheeler και Taussky για τη συνάδελφό τους κι αναχώρησαν. Τους μήνες που ακολούθησαν άρχισαν να εμφανίζονται γραπτά αφιερώματα σε όλο τον κόσμο: Ο Albert Einstein με τους Van der Waerden, Weyl, και Pavel Alexandrov έστειλαν τα σέβη τους. Το σώμα της αποτεφρώθηκε κι οι στάχτες της θάφτηκαν κάτω από τη διάβαση πεζών γύρω από το μοναστήρι της M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.
M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.
Πρώτα απ ‘όλα εκτιμάται από τους μαθηματικούς ως ειδήμων της άλγεβρας και για τη συνεισφορά της στη τοπολογία. Οι φυσικοί την εκτιμούνε πιότερο για το διάσημο θεώρημα της, λόγω της εκτεταμένης συνέπειάς στη Θεωρητική Φυσική και τα δυναμικά συστήματα. Έδειξε μιαν οξεία τάση για την αφηρημένη άλγεβρα, που της επέτρεψε να προσεγγίσει τα προβλήματα των μαθηματικών σε νέους και πρωτότυπους τρόπους. Ο φίλος και συνάδελφός της Hermann Weyl περιγράφει την επιστημονική παραγωγή της σε 3 σαφώς διακριτές εποχές:
1) Η περίοδος της σχετικής εξάρτησης, 1907-1919: Στη 1η εποχή (1907-19), ασχολήθηκε πρωτίστως με διαφορικές κι αλγεβρικές σταθερές, αρχίζοντας με τη διατριβή της υπό του Paul Gordan. Οι μαθηματικοί ορίζοντες της διευρύνθηκαν και το έργο της έγινε πιο γενικό κι αφηρημένο, αφού έγινε γνώστης του έργο του David Hilbert, μέσω στενής συνεργασίας με τον αντικαταστάτη του Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Αφού μετακόμισε στο Γκέτιγκεν το 1915, παρήγαγε τη δημιουργική της εργασία της στη φυσική, τα δύο θεωρήματα Νούτερ.
2) Οι έρευνες που συσπειρώθηκαν γύρω από την γενική θεωρία των ιδεωδών 1920-1926: Στη 2η εποχή (1920-26), αφιέρωσε το χρόνο της στην εξέλιξη της θεωρίας των μαθηματικών δακτυλίων.
3) Η μελέτη των μη-αντιμεταθετικών αλγεβρικών αναπαραστάσεών τους με γραμμικούς μετασχηματισμούς κι η εφαρμογή τους στη μελέτη των σωμάτων με αντιμεταθετικούς αριθμούς και της αριθμητικής τους: Στη 3η εποχή (1927-35), επικεντρώθηκε στη μη-αντιμεταθετική άλγεβρα, στους γραμμικούς μετασχηματισμούς και σταθερού υπολογισμού πεδία αριθμών.
Τον αιώνα από το 1832 ως το θάνατό της το 1935, ο τομέας των μαθηματικών -ειδική άλγεβρα- υπέστη μια μεγάλη επανάσταση, που ο απόηχός της είναι ακόμη αισθητός. Μαθηματικοί των προηγούμενων αιώνων είχανε δουλέψει πάνω σε πρακτικές μεθόδους για την επίλυση συκρεκριμένων τύπων εξισώσεων, π.χ. τριτοβάθμιων, τεταρτοβάθμιων και πεμπτοβάθμιων όπως επίσης και στο σχετικό πρόβλημα κατασκευής κανονικών πολυγώνων με κανόνα και διαβήτη. Ξεκινώντας με την απόδειξη του Καρλ Φρίντριχ Γκάους το 1832,σύμφωνα με την οποία πρώτοι αριθμοί όπως το 5 μπορούν να παραγοντοποιηθούν σε Γκαουσιανούς ακεραίους, την εισαγωγή του Εβαρίστ Γκαλουά στις ομάδες μεταθέσεων, το 1832 (αν και λόγω του θανάτου του οι μελέτες του δημοσιεύθηκαν μόλις το 1846 από τον Liouville), η ανακάλυψη του William Rowan Hamilton των τεταρτιωνύμων το 1843 κι ο πιο σύγχρονος ορισμός του Arthur Cayley πάνω στις ομάδες το 1854, η έρευνα στράφηκε προς τον καθορισμό των ιδιοτήτων των όλο και πιο αφηρημένων συστημάτων που ορίζονται από όλο και πιο καθολικούς κανόνες. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές της Νούτερ στα μαθηματικά, ήτανε για την ανάπτυξη του νέου αυτού τομέα, της αφηρημένης άλγεβρας.
2 από τα πιο βασικά αντικείμενα μελέτης στην αφηρημένη άλγεβρα είναι οι ομάδες κι οι δακτύλιοι. Μια ομάδα αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων και μία πράξη, η οποία συνδυάζει ένα 1ο κι ένα 2ο στοιχείο κι επιστρέφει ένα 3ο. Η πράξη πρέπει να πληροί ορισμένους περιορισμούς για να ορίσει μια ομάδα: Πρέπει να ‘ναι κλειστή (όταν εφαρμόζεται σε κάθε ζεύγος στοιχείων του συνόλου, το παραγόμενο στοιχείο πρέπει επίσης να ‘ναι μέλος αυτού του συνόλου), πρέπει να ‘ναι προσεταιριστική, πρέπει να υπάρχει έν ουδέτερο στοιχείο (στοιχείο που, όταν συνδυάζεται με άλλο χρησιμοποιώντας τη πράξη, δίνει αποτέλεσμα το αρχικό στοιχείο, όπως όταν προσθέσεις το 0 σε αριθμό ή πολλαπλασιάσεις με το 1) και για κάθε στοιχείο πρέπει να υπάρχει έν αντίστροφο στοιχείο. Ένας δακτύλιος από την άλλη, περιλαμβάνει ένα σύνολο από στοιχεία, αλλά τώρα έχει 2 πράξεις. Η 1η πρέπει να κάνει το σύνολο μια ομάδα, κι η 2η να ‘ναι προσεταιριστική κι επιμεριστική σε σχέση με τη 1η. Μπορεί να ‘ναι κι αντιμεταθετική: Αυτό σημαίνει ότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής της πράξης από ένα 1ο σ’ ένα 2ο στοιχείο είναι το ίδιο με το αποτέλεσμα της πράξης από το 2ο στο 1ο -η σειρά των στοιχείων δεν έχει σημασία. Αν κάθε μη μηδενικό στοιχείο έχει ένα πολλαπλασιαστικό αντίστροφο (ένα στοιχείο Χ τέτοιο ώστε ax=xa=1), ο δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος με διαίρεση. Ένα σώμα ορίζεται ως ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος διαίρεσης.
Το πανεπιστήμιο του Γκέτιγκεν
Ομάδες μελετούνται συχνά απ’ τα αντιπροσωπευτικώτερα στοιχεία τους. Στη γενικώτερη μορφή τους, αποτελούνται από μιαν επιλογή της ομάδας, ενός συνόλου και τη δράση της ομάδας στο σύνολο, δηλαδή, μια πράξη η οποία λαμβάνει ένα στοιχείο της ομάδας κι ένα στοιχείο του συνόλου κι επιστρέφει ένα στοιχείο του συνόλου. Τις περισσότερες φορές, το σύνολο είναι ένας διανυσματικός χώρος κι η ομάδα αντιπροσωπεύει τις συμμετρίες του διανυσματικού χώρου. Για παράδειγμα, υπάρχει μια ομάδα η οποία αντιπροσωπεύει τις σταθερές περιστροφές του χώρου. Αυτό είναι ένα είδος συμμετρίας του χώρου, επειδή ο ίδιος ο χώρος δεν αλλάζει όταν περιστρέφεται ακόμη κι αν αλλάζουν οι θέσεις των στοιχείων σε αυτό. Η Νούτερ χρησιμοποίησε αυτά τα είδη των συμμετριών στην εργασία της σχετικά με τις αναλλοίωτες ομάδες στη φυσική.
Έν ισχυρόν εργαλείο μελέτης των δακτυλίων είναι μέσω των modules τους. Ένα module αποτελείται από ένα δακτύλιο, έν άλλο σύνολο, συνήθως διαφορετικό από το υποκείμενο σύνολο του δακτυλίου το οποίο ονομάζεται υποκείμενο σύνολο του module, μια πράξη σε ζεύγη των στοιχείων του υποκείμενου συνόλου του module και μια πράξη η οποία λαμβάνει ένα στοιχείο του δακτυλίου κι ένα στοιχείο του module κι επιστρέφει ένα στοιχείο του module. To υποκείμενo σύνολο του module με τη πράξη του πρέπει να αποτελεί μιαν ομάδα. Ένα module είναι μια δακτυλιο-θεωρητική εκδοχή παράστασης της ομάδας: Αγνοώντας τη 2η πράξη του δακτυλίου και τη πράξη σε ζεύγη των στοιχείων του module ορίζουμε μια αναπαράσταση της ομάδας. Η πραγματική χρησιμότητα των modules είναι ότι τα είδη των που υπάρχουν κι οι αλληλεπιδράσεις τους, αποκαλύπτουνε τη δομή του δακτυλίου με τρόπους που δεν είναι εμφανείς από τον ίδιο το δακτύλιο. Μια σημαντική ειδική περίπτωση αυτών είναι μια άλγεβρα. (Η λέξη άλγεβρα αναφέρεται και στον γνωστό κλάδο των μαθηματικών, καθώς και σε στοιχείο που συναντάμε στον κλάδο της άλγεβρας). Μια άλγεβρα αποτελείται από 2 δακτυλίους και μια πράξη που παίρνει ένα στοιχείο από κάθε δακτύλιο κι επιστρέφει ένα στοιχείο του 2ου δακτυλίου. Αυτή η πράξη καθιστά το 2ο δακτύλιο ένα module πάνω από τον 1ο. Συχνά ο 1ος δακτύλιος είναι ένα σώμα.
Λέξεις όπως “στοιχείο” και “που συνδυάζει τη πράξη” είναι πολύ γενικές και μπορεί να εφαρμοστούνε σε πολλές αληθινές κι αφηρημένες καταστάσεις. Οποιοδήποτε σύνολο των πραγμάτων που υπακούει όλους τους κανόνες για μία ή δύο πράξη/εις είναι, εξ ορισμού, μια ομάδα (ή δακτύλιος) κι υπακούει όλα τα θεωρήματα για τις ομάδες (ή δακτυλίους). Οι ακέραιοι αριθμοί κι οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, είναι μόνον ένα παράδειγμα. Για παράδειγμα, τα στοιχεία μπορεί να ‘ναι οι λέξεις δεδομένων του υπολογιστή, όπου η 1η συνδυαστική πράξη είναι XOR κι η 2η είναι λογική σύζευξη. Τα θεωρήματα της αφηρημένης άλγεβρας είναι ισχυρά, επειδή είναι γενικά: διέπουνε πολλά συστήματα. Θα μπορούσε να φανταστεί κανείς ότι λίγα πράγματα μπορούμε να συμπεράνουμε σχετικά με τα αντικείμενα που ορίζονται με τόσες λίγες ιδιότητες, αλλά ακριβώς εκεί βρίσκεται το δώρο της Νούτερ: να ανακαλύψουμε όσα δυνατόν πιότερα μπορούν να συναχθούν από ένα δεδομένο σύνολο ιδιοτήτων, ή αντιστρόφως, ο προσδιορισμός του ελάχιστου συνόλου, του οποίου οι στοιχειώδεις ιδιότητες ευθύνονται για μια συγκεκριμένη παρατήρηση. Σε αντίθεση με τους περισσότερους μαθηματικούς, δεν έβγαζε συμπεράσματα από τη γενίκευση γνωστών παραδειγμάτων: αντίθετα, εργάστηκε άμεσα με τις αφηρημένες έννοιες. Όπως ο van der Waerden υπενθύμισε στη νεκρολογία της:
“Το αξίωμα με το οποίο η Νούτερ πορεύθηκε σε ολόκληρο το έργο της θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής: Κάθε σχέση μεταξύ των αριθμών, των συναρτήσεων και των πράξεων γίνεται φανερή, γενικά εφαρμόσιμη και πλήρως παραγωγική μόνον αφού έχει απομονωθεί από συγκεκριμένα αντικείμενα κι έχει διαμορφωθεί ως καθολικά έγκυρη έννοια“.
Αυτά είναι τα καθαρά εννοιολογικά μαθηματικά (begriffliche Mathematik) που ήτανε χαρακτηριστικό της. Αυτό το ύφος των μαθηματικών υιοθετήθηκε κι από άλλους μαθηματικούς και μετά το θάνατό της, άνθισε σε νέες μορφές, όπως η θεωρία κατηγοριών.
Οι ακέραιοι αποτελούν αντιμεταθετικό δακτύλιο του οποίου τα στοιχεία είναι οι ακέραιοι αριθμοί, με συνδυασμένες πράξεις τη πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Κάθε ζεύγος ακεραίων μπορεί να προστεθεί ή να πολλαπλασιάζεται, δίνοντας πάντα έναν άλλο ακέραιο κι η 1η πράξη, επιπλέον, είναι αντιμεταθετική, δηλαδή, για τυχόν στοιχεία a και b στον δακτύλιο, a + b = b + a. Η 2η πράξη, ο πολλαπλασιασμός, είναι επίσης αντιμεταθετική, αλλά αυτό δεν είναι απαραίτητο να ισχύει και για άλλους δακτυλίους, πράγμα που σημαίνει ότι το a σε συνδυασμό με το b μπορεί να είναι διαφορετικό από το b σε συνδυασμό με το a . Παραδείγματα μη αντιμεταθετικών δακτυλίων αποτελούν οι πίνακες και τα τετραδόνια. Οι ακέραιοι δεν αποτελούν ένα δακτύλιο με διαίρεση, διότι η δεύτερη πράξη δεν μπορεί πάντα να αντιστραφεί: Δεν υπάρχει ακέραιος a τέτοιος ώστε 3 × a = 1. Έχουν επιπλέον ιδιότητες που δεν γενικεύονται σε όλους τους αντιμεταθετικούς δακτυλίους. Ένα σημαντικό παράδειγμα είναι το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, που λέει ότι κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να αναλυθεί μοναδικά σε 1ους αριθμούς. Μοναδικές αναλύσεις δεν υπάρχουν πάντοτε σε άλλους δακτυλίους, αλλά η Νούτερ βρήκε ένα θεώρημα μοναδικής ανάλυσης, που σήμερα ονομάζεται Λάσκερ-Νούτερ, για τα ιδεώδη πολλών δακτυλίων. Μεγάλο μέρος του έργου της έγκειται στο καθορισμό του τι ιδιότητες ισχύουνε για όλους τους δακτυλίους, στην επινόηση νέων αναλόγων των παλαιών θεωρημάτων των ακεραίων και σε καθορισμό του ελαχίστου συνόλου των υποθέσεων που απαιτούνται για να δώσουν ορισμένες ιδιότητες των δακτυλίων.
Μέγα μέρος του έργου της στη 1η εποχή της καριέρας της συνδέθηκε με τη θεωρία αναλλοίωτων, κυρίως με την αλγεβρική θεωρία αναλλοίωτων. Η θεωρία αυτή ασχολείται με εκφράσεις που παραμένουνε σταθερές (αναλλοίωτες) στο πλαίσιο μιας ομάδας μετασχηματισμών. Ως ένα καθημερινό παράδειγμα, άν ένα άκαμπτο μέτρο περιστρέφεται, οι συντεταγμένες (x, y, z) των τελικών σημείων αλλάζουν αλλά το μήκος του L που δίδεται απ’ τον τύπο L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 παραμένει το ίδιο. Η θεωρία αναλλοίωτων ήταν ένας ενεργός τομέας έρευνας στα τέλη του 19ου αι., οφείλεται εν μέρει στο πρόγραμμα του Έρλαγκεν του Felix Klein, που σύμφωνα μ’ αυτό διαφορετικά είδη γεωμετρίας πρέπει να χαρακτηρίζονται από τις αναλλοίωτές τους σύμφωνα με μετασχηματισμούς, π.χ., η πολλαπλή αναλογία της προβολικής γεωμετρίας. Το αρχετυπικό παράδειγμα αναλλοίωτων είναι η διακρίνουσα B2-4AC μιας δυαδικής τετραγωνικής μορφής Ax2 + Bxy + Cy2. Αυτή ονομάζεται αναλλοίωτη επειδή είναι αμετάβλητη ως προς γραμμικούς μετασχηματισμούς x→ax + by, y→cx + dy με την ορίζουσα ad–bc=1. Αυτοί οι μετασχηματισμοί αποτελούνε την ειδική γραμμική ομάδα SL2. (Δεν υπάρχουν αναλλοίωτες στο πλαίσιο της γενικής γραμμικής ομάδας όλων των αντιστρέψιμων γραμμικών μετασχηματισμών, διότι αυτοί οι μετασχηματισμοί μπορεί να ‘ναι πολλαπλασιασμοί με κλιμακωτό παράγοντα. Για να διορθωθεί αυτό, η κλασσική θεωρία αναλλοίωτων συμπεριέλαβε επίσης τις σχετικές αναλλοίωτες, που αποτελούν αναλλοίωτες ως και τον κλιμακωτό παράγοντα). Κάποιος μπορεί να ζητήσει όλα τα πολυώνυμα σε A, B, και C που παραμένουν αναλλοίωτα από τη δράση της SL2: αυτές ονομάζονται οι αναλλοίωτες των δυαδικών τετραγωνικών μορφών κι αποδεικνύεται πως είναι τα πολυώνυμα στη διακρίνουσα. Γενικά, μπορεί κανείς να ζητήσει τις αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων A0xry0 + … + Arx0yr του υψηλώτερου βαθμού, που θα ‘ναι συγκεκριμένα πολυώνυμα με συντελεστές A0, …, Ar, κι ακόμη γενικώτερα, μπορεί κανείς να θέσει την ανάλογη ερώτηση για τα ομογενή πολυώνυμα με περισσότερες από 2 μεταβλητές.
Πίναξ 2 από τη διατριβή της Nούτερ σχετικά με την αμετάβλητη θεωρία. Αυτός ο πίνακας συγκεντρώνει 202 από τα 331 σταθερές των τριμερών πολυκεντρικών μορφών. Αυτές οι μορφές ταξινομούνται σε δύο μεταβλητές x και u. Η οριζόντια κατεύθυνση του πίνακα παραθέτει τις σταθερές σε αύξουσα ως προς x, ενώ η κατακόρυφη τα απαριθμεί σε αύξουσα ως προς u.
Ένας από τους κύριους στόχους της θεωρίας αναλλοίωτων ήταν να λύσει το πρόβλημα πεπερασμένης βάσης. Το ποσό ή το προϊόν δυο οποιωνδήποτε αναλλοίωτων είναι αναλλοίωτη και το πεπερασμένο πρόβλημα βάση έθεσε το ερώτημα αν ήταν δυνατό να συμπεριλάβει όλες τις αναλλοίωτες, ξεκινώντας με ολοκληρωμένο κατάλογο των αναλλοίωτων, που ονομάζονται γεννήτριες και στη συνέχεια, προσθέτοντας ή πολλαπλασιάζοντας τις γεννήτριες μαζί. Για παράδειγμα, η διακρίνουσα δίνει μια πεπερασμένη βάση (με ένα στοιχείο) για τις αναλλοίωτες της δυαδικής τετραγωνικής μορφής. Ο σύμβουλος της Νούτερ, ο Paul Gordan, ήτανε γνωστός ως βασιλιάς της θεωρίας των αναλλοίωτων κι η κυρίαρχη συμβολή του στα μαθηματικά ήταν η λύση του προβλήματος πεπερασμένης βάσης, το 1870, για αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων με 2 μεταβλητές. Το απέδειξε δίνοντας μια κατασκευαστική μέθοδο για την εύρεση όλων των αναλλοίωτων και των γεννητριών τους, αλλά δεν ήτανε σε θέση να πραγματοποιήσει αυτή τη κατασκευαστική προσέγγιση για αναλλοίωτες με 3 ή περισσότερες μεταβλητές. Το 1890, ο David Hilbert απέδειξε μια παρόμοια πρόταση για τις αναλλοίωτες ομογενών πολυωνύμων με οποιοδήποτε αριθμό μεταβλητών. Επιπλέον, η μέθοδος του δούλευε, όχι μόνο για την ειδική γραμμική ομάδα, αλλά και για ορισμένες από τις υποομάδες της, όπως η ειδική ορθογώνια ομάδα. Η 1η απόδειξη του προκάλεσε κάποια διαμάχη, επειδή δεν είχε δώσει μέθοδο για τη κατασκευή των γεννητριών, αν και σε μεταγενέστερο έργο έκανε τη μέθοδο του κατασκευαστική. Για τη διδακτορική της διατριβή, η Νούτερ επέκτεινε την υπολογιστική απόδειξη του Gordan σε ομογενή πολυώνυμα με 3 μεταβλητές. Η κατασκευαστική προσέγγισή της κατέστησε δυνατή τη μελέτη των σχέσεων μεταξύ των αναλλοίωτων. Αργότερα, αφού είχε στραφεί σε πιο αφηρημένες μεθόδους, την ονόμασε Mist (χάλια) και Formelngestrüpp (μια ζούγκλα από εξισώσεις).
Η Θεωρία Γκαλουά ασχολείται με μετασχηματισμούς σωμάτων αριθμών που μεταθέτουν τις ρίζες μίας εξίσωσης. Θεωρήστε μία πολυωνυμική εξίσωση μιας μεταβλητής x βαθμού ν, της οποίας οι συντελεστές προέρχονται από κάποιο σώμα βάσης,το οποίο μπορεί να είναι για παράδειγμα το σώμα των πραγματικών αριθμών, των ρητών ή των ακέραιων modulo7. Μπορεί να υπάρχουν τιμές του x τέτοιες ώστε να κάνουν το πολυώνυμο να ισούται με μηδέν. Τέτοιες τιμές αν υπάρχουν λέγονται ρίζες. Αν έχουμε το πολυώνυμο x2 + 1 και βρισκόμαστε στο σώμα των πραγματικών αριθμών,τότε το πολυώνυμο δεν έχει ρίζες γιατί για κάθε τιμή του x το πολυώνυμο θα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 1. Αν ωστόσο το σώμα είναι επεκτεταμένο, τότε το πολυώνυμο ίσως να έχει ρίζες κι αν επεκταθεί αρκετά τότε πάντα θα έχει αριθμό ριζών ίσο με τον βαθμό του. Συνεχίζοντας στο προηγούμενο παράδειγμα, αν το σώμα που έχουμε είναι των μιγαδικών αριθμών,τότε το πολυώνυμο παίρνει δύο ρίζες, τις i και –i, όπου i η φανταστική μονάδα, δηλαδή i = -1. Γενικά το σώμα επέκτασης στο οποίο το πολυώνυμο αναλύεται στις ρίζες του λέγεται σώμα ριζών του πολυωνύμου.
Η Νούτερ δίδαξε στο Moscow State University το 1928–29.
Η Ομάδα Γκαλουά ενός πολυωνύμου είναι το σύνολο όλων των δυνατών μετασχηματισμών της ομάδας ριζών του, διατηρώντας παράλληλα το σώμα βάσης και τις ρίζες του πολυωνύμου. (Στη μαθηματική γλώσσα αυτοί οι μετασχηματισμοί ονομάζονται αυτομορφισμοί). Η ομάδα Γκαλουά του x2 + 1 αποτελείται από δύο στοιχεία: τον ταυτοτικό αυτομορφισμό ο οποίος στέλνει κάθε μιγαδικό αριθμό στον εαυτό του κι ο συζυγής αυτομορφισμός που στέλνει το i στο –i. Δεδομένου ότι η ομάδα Γκαλουά δεν αλλάζει το σώμα βάσης, αφήνει όλους του συντελεστές του πολυωνύμου σταθερούς, οπότε και το σύνολο των ριζών του. Κάθε ρίζα μπορεί να σταλθεί σε κάποια άλλη έτσι ώστε ο αυτομορφισμός αυτός να ορίζει μία μετάθεση των ν ριζών μεταξύ τους. Η σημασία της ομάδας Γκαλουά προέρχεται από το Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας Γκαλουά το οποίο αποδεικνύει ότι τα σώματα που βρίσκονται μεταξύ του σώματος βάσης και του σώματος ριζών βρίσκονται σε ένα προς ένα αντιστοιχία με τις υποομάδες Γκαλουά.
Το 1918 η Νούτερ δημοσίευσε μια σημαντική εργασία πάνω στο αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά. Αντί να προσδιορίσει την ομάδα Γκαλουά των μετασχηματισμών δοθέντος σώματος και της επέκτασής του, αναρωτήθηκε έχοντας ένα σώμα και μία ομάδα,αν είναι πάντα εφικτό να βρούμε μία επέκταση του σώματος που να έχει τη συγκεκρίμενη ομάδα ως τη ομάδα Γκαλουά του. Το ονόμασε πρόβλημα της Νούτερ που αναρωτιέται αν το σταθερό σώμα μιας υποομάδας G της ομάδας μεταθέσων Sn που δρα στο σώμα k(x1, … , xn) είναι πάντα μία υπερβατική επέκταση του σώματος k.(Αναφέρθηκε 1η φορά σ’ αυτό το πρόβλημα σε μια εργασία του 1913, όπου απέδωσε το πρόβλημα στο συνάδελφό της Fischer). Έδειξε ότι ισχύει για ν = 2, 3, ή 4. Το 1969 ο R. G. Swan βρήκε έν αντιπαράδειγμα στο πρόβλημα Νούτερ, με ν = 47 και G μία κυκλική ομάδα τάξης 47 (αν κι αυτή η ομάδα μπορεί να ορισθεί ως ομάδα Γκαλουά πάνω από τους ρητούς με πολλούς τρόπους). Το αντίστροφο πρόβλημα Γκαλουά παραμένει άλυτο.
Ο David Hilbert κι ο Felix Klein φέρανε τη Νούτερ στο Γκέτιγκεν το 1915, ζητώντας την εμπειρογνωμοσύνη της σε θέματα θεωρίας αναλλοίωτων για να τους βοηθήσει στη κατανόηση της γενικής σχετικότητας, μιας γεωμετρικής θεωρίας της βαρύτητας που αναπτύχθηκε κυρίως από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν. Ο Hilbert είχε παρατηρήσει ότι η διατήρηση της ενέργειας φαινόταν να παραβιάζεται στη γενική σχετικότητα, το οποίο οφείλεται στο γεγονός ότι η βαρυντική ενέργεια μπορούσε να έλκεται. Η Νούτερ παρέδωσε την επίλυση αυτού του παραδόξου, καθώς κι ένα θεμελιώδες εργαλείο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, με το πρώτο θεώρημα της Νούτερ, το οποίο απέδειξε το 1915, αλλά δεν το δημοσίευσε μέχρι το 1918. Έλυσε το πρόβλημα, όχι μόνο για τη γενική σχετικότητα, αλλά προσδιόρισε τις συντηρημένες ποσότητες για κάθε σύστημα φυσικών νόμων που κατέχει κάποια συνεχή συμμετρία. Αφού παρέλαβε το έργο της, ο Αϊνστάιν έγραψε στον Hilbert:
“Χθες έλαβα από τη Δίδα Νούτερ μια πολύ ενδιαφέρουσα εργασία σχετικά με τις αναλλοίωτες. Με εντυπωσιάζει το ότι τέτοια πράγματα μπορούν να γίνουνε κατανοητά σ’ ένα τέτοιο γενικό τρόπο. Η παλιά φρουρά στο Γκέτινγκεν θα πρέπει να λάβει κάποια μαθήματα από τη Δίδα Νούτερ! Φαίνεται να γνωρίζει καλά το αντικείμενο της“.
Για παράδειγμα, αν ένα φυσικό σύστημα συμπεριφέρεται το ίδιο, ανεξάρτητα από το πόσο είναι προσανατολισμένο στο χώρο, οι φυσικοί νόμοι που το διέπουν είναι συμμετρικοί εκ περιστροφής: Από αυτή τη συμμετρία, το θεώρημα Νούτερ δείχνει ότι η στροφορμή του συστήματος πρέπει να διατηρείται. Το φυσικό σύστημα δεν χρειάζεται να ‘ναι συμμετρικό: Ένας οδοντωτός αστεροειδής πέφτοντας στο διάστημα διατηρεί στροφορμή, παρά την ασυμμετρία του. Αντίθετα, η συμμετρία των φυσικών νόμων που διέπουνε το σύστημα είναι υπεύθυνη για τον νόμο διατήρησης. Ως άλλο παράδειγμα, αν ένα φυσικό πείραμα έχει το ίδιο αποτέλεσμα, σε οποιοδήποτε μέρος κι οποιαδήποτε στιγμή, τότε οι νόμοι του είναι συμμετρικοί υπό συνεχείς μεταβολές στο χώρο και το χρόνο: Από το θεώρημα της Νούτερ, αυτές οι συμμετρίες αντιπροσωπεύουνε τους νόμους διατήρησης της γραμμικής ορμής κι ενέργειας μες σ’ αυτό το σύστημα, αντίστοιχα. Το θεώρημα Νούτερ έχει γίνει θεμελιώδες εργαλείο της σύγχρονης θεωρητικής φυσικής, τόσο λόγω της επίγνωσης που δίνει στους νόμους διατήρησης, αλλά κι ως ένα πρακτικό εργαλείο υπολογισμού. Το θεώρημα της, επιτρέπει στους ερευνητές να προσδιορίσουνε τις διατηρητέες ποσότητες από τις παρατηρούμενες συμμετρίες ενός φυσικού συστήματος. Αντιστρόφως, διευκολύνει τη περιγραφή ενός φυσικού συστήματος που βασίζεται στις κατηγορίες των υποθετικών φυσικών νόμων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ένα νέο φυσικό φαινόμενο έχει ανακαλυφθεί. Το θεώρημα Νούτερ παρέχει έναν έλεγχο για θεωρητικά μοντέλα του φαινομένου: αν η θεωρία έχει μια συνεχή συμμετρία, τότε το θεώρημα εγγυάται πως η θεωρία έχει μια διατηρητέα ποσότητα και για να ‘ναι η θεωρία σωστή, αυτή η διατήρηση πρέπει να είναι παρατηρήσιμη σε πειράματα.
Αν και τα αποτελέσματα της 1ης εποχής της Νούτερ ήταν εντυπωσιακά και χρήσιμα, η φήμη της ως μαθηματικός στηρίζεται πιότερο στη πρωτοποριακή εργασία που έκανε στη 2η και 3η εποχή της, όπως σημειώνεται από τους Hermann Weyl και BL van der Waerden στις νεκρολογίες τους γι’ αυτήν. Σ’ αυτές τις εποχές της, δεν εφάρμοσε απλώς τις ιδέες και τις μεθόδους των προηγούμενων μαθηματικών: αντίθετα, έγραφε νέα συστήματα μαθηματικών ορισμών που θα χρησιμοποιούνταν από τους μελλοντικούς. Ειδικώτερα, ανέπτυξε μιαν εντελώς νέα θεωρία των ιδεωδών δακτυλίων, γενικεύοντας το προγενέστερο έργο του Richard Dedekind. Είναι επίσης γνωστή για το ότι ανέπτυξε συνθήκες αύξουσας αλυσίδας, μια απλή συνθήκη πεπερασμένων που απέδωσε ισχυρά αποτελέσματα στα χέρια της. Αυτές οι συνθήκες κι η θεωρία των ιδεωδών της επέτρεψαν να γενικεύσει πολλά παλιότερα αποτελέσματα και να ασχοληθεί με τα παλιά προβλήματα από μια νέα προοπτική, όπως με τη θεωρία απαλοιφής και τις αλγεβρικές πολλαπλότητες που είχαν μελετηθεί από τον πατέρα της.
Σε αυτή την εποχή, έγινε διάσημη για την επιδέξια χρήση των συνθηκών αύξουσας (Teilerkettensatz) ή φθίνουσας (Vielfachenkettensatz) αλυσίδας. Μια ακολουθία μη κενών υποσυνόλων A1, A2, A3, κλπ από ενός συνόλου S συχνά λέγεται αύξουσα, αν το καθένα είναι ένα υποσύνολο του επόμενου:
Ανάλογα, μια ακολουθία από υποσύνολα S λέγεται φθίνουσα εάν το κάθε υποσύνολο περιέχει το επόμενο:
Μια αλυσίδα γίνεται σταθερή μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων, αν υπάρχει ένα ν τέτοιο ώστε Αν = Αμ για κάθε m ≥ ν. Μια συλλογή από υποσύνολα ενός συνόλου ικανοποιεί τη συνθήκη αύξουσας αλυσίδας αν κάθε αύξουσα ακολουθία γίνεται σταθερή μετά από ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Ικανοποιεί τη συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας αν κάθε φθίνουσα ακολουθία γίνεται σταθερή μετά από ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων. Οι συνθήκες αύξουσας και φθίνουσας αλυσίδας είναι γενικές, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούν να εφαρμοστούνε σε πολλούς τύπους μαθηματικών αντικειμένων κι επιφανειακά, μπορεί να μη φαίνονται πολύ ισχυρές. Η Νούτερ έδειξε το πώς να εκμεταλλεύονται αυτές τις συνθήκες, όμως, με το μέγιστο όφελος: για παράδειγμα, πώς να τις χρησιμοποιείς για να δείξεις ότι κάθε σύνολο υπο-αντικειμένων έχει ένα μέγιστο / ελάχιστο στοιχείο ή ότι ένα σύνθετο αντικείμενο μπορεί να παραχθεί από ένα μικρότερο αριθμό στοιχείων. Τα συμπεράσματα αυτά είναι συχνά ζωτικής σημασίας βήματα σε μια απόδειξη.
Πολλά είδη αντικειμένων στην αφηρημένη άλγεβρα μπορούν να ικανοποιήσουν τις συνθήκες της αλυσίδας κι αν ικανοποιούν μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας, συχνά καλούνται Νουτεριανά προς τιμή της. Εξ ορισμού, ένας Νουτεριανός δακτύλιος ικανοποιεί μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας στα αριστερά και δεξιά ιδεώδη του, ενώ μια Νουτεριανή ομάδα ορίζεται ως μια ομάδα στην οποία κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα από υποομάδες είναι πεπερασμένη. Ένα Νουτεριανό module είναι ένα module στο οποίο κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα από υπο-modules διακόπτει μετά από ένα πεπερασμένο αριθμό. Ένας Νουτεριανός χώρος είναι ένας τοπολογικός χώρος στον οποίο κάθε γνησίως αύξουσα αλυσίδα ανοικτών υποχώρων διακόπτει μετά από ένα πεπερασμένο αριθμό όρων: Ο ορισμός αυτός είναι φτιαγμένος έτσι ώστε το φάσμα ενός Νουτεριανού δακτυλίου να είναι ένας Νουτεριανός τοπολογικός χώρος.
Η συνθήκη της αλυσίδας συχνά “κληρονομείται” από τα υπο-αντικείμενα. Για παράδειγμα, όλοι οι υποχώροι ενός Νουτεριανού χώρου, είναι Νουτεριανοί κι οι ίδιοι -όλες οι υποομάδες κι οι ομάδες πηλίκο μιας Νουτεριανής ομάδας είναι ,παρομοίως, Νουτεριανοί- και τηρουμένων των αναλογιών, το ίδιο ισχύει και για υπο-modules και modules πηλίκο ενός Νουτεριανού module. Όλοι οι δακτύλιοι πηλίκο ενός Νουτεριανού δακτυλίου είναι Νουτεριανοί, αλλά αυτό δεν ισχύει απαραίτητα για τους υποδακτυλίους του. Η συνθήκη αλυσίδας μπορεί επίσης να κληρονομηθεί από συνδυασμούς ή επεκτάσεις ενός Νουτεριανού αντικειμένου. Για παράδειγμα πεπερασμένα ευθεία αθροίσματα Νουτεριανών δακτυλίων είναι Νουτεριανά, όπως είναι ο δακτύλιος της τυπικής δυναμοσειράς πάνω σ’ ένα Νουτεριανό δακτύλιο.
Μια άλλη εφαρμογή τέτοιων συνθηκών αλυσίδας είναι στην επαγωγή σε Νουτεριανούς -επίσης γνωστή ως βάσιμη επαγωγή- που είναι μια γενίκευση της μαθηματικής επαγωγής. Συχνά χρησιμοποιείται για να περιορίσει γενικές προτάσεις σχετικά με συλλογές αντικειμένων σε προτάσεις σχετικά με συγκεκριμένα αντικείμενα αυτής της συλλογής. Ας υποθέσουμε ότι το S είναι ένα μερικώς διατεταγμένο σύνολο. Ένας τρόπος για να αποδειχθεί μια πρόταση σχετικά με τα αντικείμενα του S είναι να υποθέσουμε την ύπαρξη ενός αντιπαραδείγματος και να αναχθούμε σε μια αντίφαση, αποδεικνύοντας έτσι την άρνηση της αρχικής πρότασης. Η βασική προϋπόθεση της Νουτεριανής επαγωγής είναι ότι κάθε μη κενό υποσύνολο του S περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο. Ειδικώτερα, το σύνολο όλων των αντιπαραδειγμάτων περιέχει ένα ελάχιστο στοιχείο, το ελάχιστο αντιπαράδειγμα. Για να αποδείξει την αρχική πρόταση, ως εκ τούτου, αρκεί να αποδείξει κάτι φαινομενικά πολύ ασθενέστερο: Για κάθε αντιπαράδειγμα, υπάρχει μικρότερο αντιπαράδειγμα.
Η εργασία της Νούτερ, Idealtheorie in Ringbereichen (Θεωρία των ιδεωδών σε τομείς δακτυλίων, 1921), είναι το θεμέλιο της γενικής γενικής θεωρίας αντιμεταθετικών δακτυλίων και δίνει έναν από τους 1ους γενικούς ορισμούς ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου. Πριν από την εργασία της, τα περισσότερα αποτελέσματα στην αντιμεταθετική άλγεβρα περιορίστηκαν σε ειδικά παραδείγματα αντιμεταθετικών δακτυλίων, όπως οι δακτύλιοι πολυωνύμων πάνω από σώματα ή οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων. Εκείνη απέδειξε ότι σε ένα δακτύλιο που ικανοποιεί τη συνθήκη αύξουσας αλυσίδας σε ιδεώδη, κάθε ιδεώδες είναι πεπερασμένα παραγόμενο. Το 1943, ο Γάλλος μαθηματικός Claude Chevalley επινόησε τον όρο, Νουτεριανός δακτύλιος, για να περιγράψει αυτή την ιδιότητα. Ένα σημαντικό αποτέλεσμα της εργασίας της το 1921 είναι το θεώρημα Λάσκερ-Νούτερ, το οποίο εκτείνει το θεώρημα του Λάσκερ για πρωτογενή διάσπαση των ιδεωδών των δακτυλίων πολυωνύμων σε όλους τους Νουτεριανούς δακτυλίους. Το θεώρημα Λάσκερ-Νούτερ μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής το οποίο αναφέρει ότι κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να εκφραστεί ως προϊόν πρώτων αριθμών κι ότι αυτή η διάσπαση είναι μοναδική.
Το έργο της Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenkörpern (Αφηρημένη Δομή της Θεωρίας των Ιδεωδών στους Αλγεβρικούς Αριθμούς και Σώματα Συναρτήσεων, 1927), που χαρακτηρίζεται από τους δακτυλίους στους οποίους τα ιδεώδη έχουν μοναδική παραγοντοποίηση σε κύρια ιδεώδη, όπως τα πεδία Dedekind: αναπόσπαστα πεδία που είναι Νουτεριανά, διαστάσεων 0 ή 1, κι αναπόσπαστα κλειστά στα σώματα πηλίκο τους. Αυτή η εργασία περιέχει επίσης αυτά που τώρα λέγονται τα θεωρήματα ισομορφισμών, τα οποία περιγράφουν ορισμένους θεμελιώδεις φυσικούς ισομορφισμούς και κάποια άλλα βασικά αποτελέσματα για modules της Νούτερ και του Αρτίν. Το 1923-24 εφάρμοσε τη θεωρία ιδεωδών της στη θεωρία απαλοιφής -σε ένα σκεύασμα που απέδωσε στον μαθητή της, Kurt Hentzelt- δείχνοντας ότι τα θεμελιώδη θεωρήματα για τη παραγοντοποίηση πολυωνύμων θα μπορούσαν να μεταφερθούν άμεσα. Παραδοσιακά, η θεωρία απαλοιφής ασχολείται με την απαλοιφή ενός ή περισσότερων μεταβλητών από ένα σύστημα πολυωνυμικών εξισώσεων, συνήθως με τη μέθοδο των συνισταμένων. Για παράδειγμα, το σύστημα των εξισώσεων συχνά μπορεί να γραφτεί με τη μορφή ενός πίνακα M (που δεν περιέχει τη μεταβλητή x) επί ένα διάνυσμα v (έχουν μόνο διαφορετικές δυνάμεις των x) με αποτέλεσμα το μηδενικό διάνυσμα, M.v = 0. Ως εκ τούτου, η ορίζουσα του πίνακα Μ πρέπει να είναι μηδέν, παρέχοντας μια νέα εξίσωση στην οποία η μεταβλητή Χ έχει απαλειφθεί.
Τεχνικές όπως η αρχική μη κατασκευαστική λύση του Hilbert στο πρόβλημα πεπερασμένης βάσης δεν θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να πάρουμε ποσοτικές πληροφορίες σχετικά με τις αναλλοίωτες της δράσης ομάδας κι επιπλέον, δεν ίσχυαν για όλες τις δράσης ομάδας. Στην εργασία της, το 1915, η Νούτερ βρήκε λύση στο πρόβλημα της πεπερασμένης βάσης για μια πεπερασμένη ομάδα μετασχηματισμών G η οποία δρα σ’ ένα πεπερασμένης διάστασης διανυσματικό χώρο πάνω από ένα σώμα χαρακτηριστικής μηδέν. Η λύση της δείχνει ότι ο δακτύλιος των αναλλοίωτων παράγεται από ομοιογενείς αναλλοίωτες των οποίων ο βαθμός είναι μικρότερος ή ίσος με τη τάξη της πεπερασμένης ομάδας. Αυτό ονομάζεται, δέσμευση της Νούτερ. Η εργασία της έδωσε 2 αποδείξεις της δέσμευσης Νούτερ, αμφότερες από τις οποίες λειτουργούν όταν η χαρακτηριστική του σώματος είναι σχετικά πρώτη με το |G|, το παραγοντικό της τάξης |G| της ομάδας G. Ο αριθμός των γεννητριών δεν είναι απαραίτητο να ικανοποιεί τη δέσμευση της Νούτερ όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί το |G| αλλά η Νούτερ δεν ήταν σε θέση να καθορίσει αν η δέσμευση ήτανε σωστή, όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί το |G| αλλά όχι τη |G| . Για πολλά χρόνια, ο προσδιορισμός της αλήθειας ή του ψεύδους της δέσμευσης σε αυτή τη περίπτωση ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα που ονομάστηκε το χάσμα της Νούτερ. Τελικά επιλύθηκε ξεχωριστά από τον Fleischmann το 2000 και τον Fogarty το 2001, που κι οι 2 έδειξαν ότι η δέσμευση εξακολουθεί να ισχύει.
Στην εργασία της το 1926, επέκτεινε το θεώρημα του Hilbert σε αναπαραστάσεις μιας πεπερασμένης ομάδας πάνω από κάθε σώμα, η νέα περίπτωση που δεν προκύπτει από το έργο του Hilbert, είναι όταν η χαρακτηριστική του σώματος διαιρεί τη τάξη της ομάδας. Το αποτέλεσμά της επεκτάθηκε αργότερα από τον William Haboush σε όλες τις αναγωγικές ομάδες με την απόδειξη του για την εικασία Mumford. Σε αυτή την εργασία της εισήγαγε επίσης το λήμμα κανονικοποίησης της Νούτερ, αποδεικνύοντας ότι μια πεπερασμένα παραγόμενη περιοχή A πάνω από ένα σώμα k έχει ένα σύνολο x1, … , xn από αλγεβρικά ανεξάρτητα στοιχεία, όπως κι ότι η A είναι ακέραια περιοχή πάνω από το k[x1, … , xn].
Όπως σημείωσαν οι Pavel Alexandrov και Hermann Weyl στις νεκρολογίες τους, οι συνεισφορές της στη τοπολογία δείχνουνε τη γενναιοδωρία της με ιδέες και πως οι ιδέες της μπορούσαν να μεταμορφώσουν ολόκληρους τομείς των μαθηματικών. Στη τοπολογία, οι μαθηματικοί μελετούν τις ιδιότητες των αντικειμένων που παραμένουν αναλλοίωτα ακόμη και μετά από παραμόρφωση, ιδιότητες όπως τη μεταξύ τους σύνδεση. Ένα γνωστό αστείο είναι ότι ένας τοπολόγος δεν μπορεί να διακρίνει ένα ντόνατ από μια κούπα καφέ, δεδομένου ότι μπορούν να παραμορφώνονται συνεχώς το ένα στο άλλο.
Συνεχής παραμόρφωση (homotopy) φλυτζανιού
σε ντόνατ (τόρος) κι αντίστροφα
Η Νούτερ πιστώνεται με τις θεμελιώδεις ιδέες που οδηγήσανε στην ανάπτυξη της Αλγεβρικής Τοπολογίας από τη προηγούμενη συνδυαστική τοπολογία, συγκεκριμένα, με την ιδέα των ομάδων ομολογίας. Σύμφωνα με τον απολογισμό του Alexandrov, η Νέτερ παρακολουθούσε διαλέξεις του Heinz Hopf και του ιδίου τα καλοκαίρια του 1926 και του 1927, όπου κι “έκανε συνεχώς παρατηρήσεις, οι οποίες συχνά ήταν βαθειές και λεπτές” και συνεχίζει ότι,
“Όταν 1η φορά ήρθε σ’ επαφή με μια συστηματική κατασκευή της συνδυαστικής τοπολογίας, αμέσως παρατήρησε ότι θα άξιζε τον κόπο να μελετήσει άμεσα τις ομάδες αλγεβρικών συμπλόκων και κύκλων ενός δεδομένου πολυέδρου και την υποομάδα της κυκλικής ομάδας που αποτελείται από κύκλους ομόλογους με το μηδέν, αντί του συνηθισμένου ορισμού των αριθμών Betti, πρότεινε αμέσως τον ορισμό της ομάδας Betti ως τη συμπληρωματική (πηλίκο) ομάδα της ομάδας όλων των κύκλων στην υποομάδα των κύκλων ομόλογη με μηδέν. Η παρατήρηση αυτή φαίνεται πλέον αυτονόητη. Όμως εκείνα τα χρόνια (1925-1928) ήταν μια εντελώς νέα άποψη“.
Η πρόταση της πως η τοπολογία πρέπει να μελετηθεί αλγεβρικά, υιοθετήθηκε αμέσως από τους Hopf, Alexandrov, κι άλλους κι έγινε ένα συχνό θέμα συζήτησης ανάμεσα στους μαθηματικούς του Γκέτινγκεν. Η Νούτερ παρατήρησε ότι η ιδέα της για μια ομάδα Betti κάνει τον τύπο των Euler-Poincaré πιο απλό να κατανοηθεί και το έργο του Hopf για το θέμα αυτό “φέρει το αποτύπωμα αυτών των παρατηρήσεων της Έμι Νούτερ“. Η Νούτερ αναφέρει τις ιδέες της για τη τοπολογία μόνον ως ένα μέρος σε μια δημοσίευση του 1926, όπου τις παραθέτει ως εφαρμογή της θεωρίας ομάδων. Η αλγεβρική προσέγγιση στη τοπολογία αναπτύχθηκε ανεξάρτητα στην Αυστρία. Σε μια σειρά μαθημάτων το 1926-1927 στη Βιέννη, ο Leopold Vietoris όρισε μια ομάδα ομολογίας, η οποία αναπτύχθηκε από τον Walther Mayer, σε έναν αξιωματικό ορισμό το 1928.
Μεγάλο μέρος της έρευνας πάνω στους υπερμιγαδικούς αριθμούς και στην ομάδα αναπαραστάσεων διεξήχθη τον 19ο και στις αρχές του 20ού αι., αλλά παρέμεινε ασύνδετη. Η Νούτερ ένωσε τα αποτελέσματα και παρέδωσε τη 1η γενική θεωρία αναπαράστασης των ομάδων και των αλγεβρών. Εν συντομία, ενέταξε τη θεωρία των δομών των συνδυαστικών αλγεβρών και την θεωρία αναπαράστασης των ομάδων σε μια ενιαία αριθμητική θεωρία των modules και των ιδεωδών σε δακτυλίους που πληρούνε τις συνθήκες αύξουσας αλυσίδας . Αυτό το ενιαίο έργο της ήταν θεμελιώδους σημασίας για την ανάπτυξη της σύγχρονης άλγεβρας.
Η Νούτερ με… εκλεκτή παρέα 1932
Ήταν επίσης υπεύθυνη για μια σειρά άλλων εξελίξεων στον τομέα της άλγεβρας. Μαζί με τους Emil Artin, Richard Brauer και Helmut Hasse, δημιούργησε τη θεωρία των κεντρικών απλών αλγεβρών. Μια πρωτοποριακή εργασία από την Νούτερ, τον Helmut Hasse και τον Richard Brauer αναφέρεται σε άλγεβρες με διαίρεση, που είναι αλγεβρικά συστήματα στα οποία η διαίρεση είναι δυνατή. Απέδειξαν 2 σημαντικά θεωρήματα: ένα τοπικό-παγκόσμιο θεώρημα που δηλώνει ότι αν μια πεπερασμένων διαστάσεων κεντρική άλγεβρα με διαίρεση πάνω από ένα σώμα αριθμών διασπάται τοπικά παντού, τότε διασπάται σε παγκόσμιο επίπεδο (οπότε είναι ασήμαντο) κι από αυτό, συνάγεται το Hauptsatz τους («κύριο θεώρημα»): κάθε πεπερασμένων διαστάσεων κεντρική άλγεβρα με διαίρεση πάνω από ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών F διασπάται πάνω σε μια κυκλική κυκλοτομική επέκταση. Αυτά τα θεωρήματα επιτρέπουνε τη ταξινόμηση όλων των πεπερασμένων διαστάσεων κεντρικών αλγεβρών με διαίρεση πάνω από ένα συγκεκριμένο σώμα αριθμών. Μια επόμενη εργασία της έδειξε, ως ειδική περίπτωση ενός γενικώτερου θεωρήματος, ότι όλα τα μέγιστα υποσώματα άλγεβρας με διαίρεση D είναι σώματα διάσπασης. Αυτή η εργασία περιέχει επίσης το θεώρημα Skolem-Νούτερ το οποίο ορίζει ότι οποιεσδήποτε 2 ενσωματώσεις μιας επέκτασης του σώματος k σε μια πεπερασμένης διάστασης κεντρική απλή άλγεβρα πάνω από το k, αποτελούνε σύζευξη. Το θεώρημα Brauer-Νούτερ δίνει ένα χαρακτηριστικό των σωμάτων διάσπασης μιας κεντρικής άλγεβρας με διαίρεση πάνω από ένα σώμα.
Το Emmy Noether Campus στο Πανεπιστήμιο Siegen
στεγάζει σήμερα τα τμήματα μαθηματικών & φυσικής
Το έργο της συνεχίζει να είναι σημαντικό για την ανάπτυξη της θεωρητικής φυσικής και των μαθηματικών κι αυτή σταθερά συμπεριλαμβάνεται στους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ου αι. Στη νεκρολογία του, ο συνάδελφος αλγεβριστής BL van der Waerden αναφέρει ότι οι μαθηματική πρωτοτυπία της ήταν απόλυτη πέρα από κάθε σύγκριση, κι ο Hermann Weyl είπε ότι άλλαξε το πρόσωπο της άλγεβρας με το έργο της. Στη διάρκεια της ζωής της, ακόμη μέχρι και σήμερα, έχει χαρακτηριστεί ως η σπουδαιότερη γυναίκα μαθηματικός στη καταγραμμένη ιστορία από μαθηματικούς, όπως οι Pavel Alexandrov, Hermann Weyl και Jean Dieudonné. Σε επιστολή του προς τους New York Times, ο Άλμπερτ Αϊνστάιν έγραψε:
“Αν θέλουμε να κρίνουμε τους πιο ικανούς μαθηματικούς εν ζωή, η Fräulein Νούτερ ήταν η πιο σημαντική δημιουργική μαθηματική ιδιοφυΐα που έχει εμφανιστεί μέχρι στιγμής από τη στιγμή που ξεκίνησε η 3βάθμια εκπαίδευση των γυναικών. Στον τομέα της άλγεβρας, στην οποία οι πιο ταλαντούχοι μαθηματικοί απασχολούνται για αιώνες, ανακάλυψε μεθόδους που έχουν αποδειχθεί τεράστιας σημασίας για την ανάπτυξη της σημερινής νεώτερης γενιάς των μαθηματικών“.
Στις 2 Γενάρη 1935, λίγους μήνες πριν τον θάνατο της, ο μαθηματικός Norbert Wiener έγραψε τα εξής:
“Η δις Νούτερ είναι η σπουδαιότερη γυναίκα μαθηματικός που έχει εμφανιστεί ποτέ κι επίσης η σπουδαιότερη γυναίκα επιστήμονας εν ζωή σε οποιουδήποτε είδος και μελετήτρια τουλάχιστον στο επίπεδο της Μαντάμ Κιουρί“.
Στη Διεθνή Έκθεση του 1964 που αφιερώνεται στους Σύγχρονους Μαθηματικούς, η Νούτερ ήταν η μόνη γυναίκα μεταξύ των αξιοσημείωτων μαθηματικών του σύγχρονου κόσμου. Η Νούτερ επίσης έχει τιμηθεί με διάφορα βραβεία:
* Ο Σύλλογος για τις Γυναίκες στα Μαθηματικά απονέμει μια Διάλεξη της Νούτερ για να τιμήσει τις γυναίκες στα μαθηματικά κάθε χρόνο, το 2005, στο φυλλάδιο για το γεγονός, ο Σύλλογος τη χαρακτηρίζει ως “μια από τους μεγάλους μαθηματικούς της εποχής της, κάποια που δούλεψε και αγωνίστηκε για αυτό που αγαπούσε και πίστευε. Η ζωή και το έργο της παραμένουν μια τεράστια πηγή έμπνευσης“.
* Συνεπές με την αφοσίωσή της στους μαθητές της, το Πανεπιστήμιο του Siegen στεγάζει το τμήμα μαθηματικών και φυσικής του σε κτίρια στη πανεπιστημιούπολη Έμι Νούτερ.
* Το Γερμανικό Ίδρυμα Έρευνας (Deutsche Forschungsgemeinschaft) λειτουργεί το πρόγραμμα Έμι Νούτερ, μια υποτροφία που παρέχει χρηματοδότηση για τους πολλά υποσχόμενους νεαρούς μεταδιδακτορικούς επιστήμονες στην περαιτέρω έρευνα τους και στις εκπαιδευτικές δραστηριότητες τους.
* Μια οδός στη γενέτεια πόλη της, το Έρλαγκεν, έχει πάρει το όνομα της και του πατέρα της, Μαξ Νούτερ.
* Το σχολείο που διαδέχτηκε το γυμνάσιο της στο Έρλαγκεν, μετονομάστηκε σε σχολείο της Έμι Νούτερ.
* O χαρακτήρας Emmy Nutter (Έμι Τρελή), η καθηγήτρια φυσικής στο μυθιστόρημα The God Patent του Ransom Stephens, βασίζεται σ’ αυτήν.
* Ο κρατήρας Nöther της αθέατης πλευράς της Σελήνης πήρε το όνομα της.
* Ο αστεροειδής 7001 Νούτερ επίσης ονομάστηκε έτσι από αυτήν.
