ÐåæÜ

Ðïßçóç-Ìýèéá

Ï Dali & Åãþ

ÈÝáôñï-ÄéÜëïãïé

Äïêßìéá

Ó÷üëéá-Áñèñá

ËáïãñáöéêÜ

ÅíäéáöÝñïíôåò

ÊëáóóéêÜ

Áñ÷áßá Åëë Ãñáìì

ÄéáóêÝäáóç

ÐéíáêïèÞêç

ÅéêáóôéêÜ

Ðáãê. ÈÝáôñï

Ðëçñ-Ó÷ïë-Åðéêïéí.

Öáíôáóôéêü

Åñ. Ëïãïôå÷íßá

Ãëõðô./Áñ÷éô.

ÊëáóóéêÜ ÉÉ

 
 

Äïêßìéá 

ÃÕÍÁÉÊÅÓ ÔÏÕ ÊÏÓÌÏÕ Á5: Ç... ÅðÝëáóç Ôùí Ìáèçìáôéêþí

     Η ¸μμυ Νοýτερ (Amalie 'Emmy' Noether/ 23 ΜÜρτη 1882 - 14 Απρßλη 1935), Þτανε πολý σημαντικÞ Γερμανοεβραßα φυσικομαθηματικüς και συγγραφÝας, γνωστÞ για τη μελÝτη της στην αφηρημÝνη Üλγεβρα και τη θεωρητικÞ φυσικÞ. ΑναφÝρεται απü τους ΠÜβελ Αλεξανδρþφ, ¢λμπερτ ΑúνστÜιν, Jean Dieudonné, Hermann Weyl, Νüρμπερτ Βßνερ κι Üλλους ως η πιο σημαντικÞ γυναßκα στην ιστορßα των μαθηματικþν που επÝφερε ριζικÝς αλλαγÝς στις θεωρßες των δακτυλßων, των σωμÜτων και των αλγεβρικþν δομþν. Στη φυσικÞ, το θεþρημÜ της εξηγεß τη θεμελιþδη σχÝση μεταξý συμμετρßας και των νüμων διατÞρησης.



    Η ¸μι Νοýτερ γεννÞθηκε στο ¸ρλανγκεν στις 23 ΜÜρτη 1882 üντας 1ο απü 4 παιδιÜ. Το 1ο της üνομα Þταν Αμαλßα, απü τ' üνομα της μητÝρας της και της γιαγιÜς της (εκ του πατρüς), αλλÜ σε νεαρÞ ηλικßα Üρχισε να χρησιμοποιεß το μεσαßο üνομÜ της. Ως κορßτσι, Þταν ιδιαßτερα συμπαθÞς. Δεν ξεχþριζε για τις ακαδημαúκÝς της γνþσεις, αλλÜ για την εξυπνÜδα και τη φιλικüτητα της. Εßχε προβλÞματα üρασης και τραυλισμοý κατÜ τη παιδικÞ ηλικßα. ¸νας οικογενειακüς φßλος διηγÞθηκε χρüνια αργüτερα μια ιστορßα απü τα χρüνια που η ¸μι Þταν νÝα, üπου επÝλυσε γρÞγορα μια σπαζοκεφαλιÜ σε παιδικü πÜρτι, δεßχνοντας το λογικü της δαιμüνιο σε τüσο μικρÞ ηλικßα. ¹ταν μαθημÝνη να μαγειρεýει και να καθαρßζει, üπως και τα περισσüτερα κορßτσια της εποχÞς κι επßσης παρακολουθοýσε μαθÞματα πιÜνου. Δεν ακολοýθησε καμßα απü αυτÝς τις δραστηριüτητες με πÜθος, αν και λÜτρευε να χορεýει.
    Ο πατÝρας της Μαξ Νοýτερ, καταγüταν απü οικογÝνεια εμπüρων στη Γερμανßα. Εßχεν υποστεß παρÜλυση απü πολιομυελßτιδα üταν Þταν 14. ΑνÝκτησε και πÜλι την κινητικüτητα του, αλλÜ το Ýνα πüδι δεν επανÞλθε πλÞρως. Σε μεγÜλο βαθμü αυτοδßδακτος του εßχεν απονεμηθεß διδακτορικü δßπλωμα απü το ΠανεπιστÞμιο της ΧαúδελβÝργης το 1868. ΜετÜ απü τη διδασκαλßα εκεß για 7 Ýτη, πÞρε μια θÝση στη βαυαρικÞ πüλη του ¸ρλαγκεν, üπου γνþρισε και παντρεýτηκε την ºντα Αμαλßα ΚÜουφμαν, κüρη ενüς εýπορου εμπüρου και μαζß αποκτÞσανε 3 παιδιÜ, μεταξυ των οποßων και την ¸μμυ. Η συνεισφορÜ του Νοýτερ στα μαθηματικÜ Þτανε κυρßως στην αλγεβρικÞ γεωμετρßα, ακολουθþντας τα βÞματα του Alfred Clebsch. Η πιο γνωστÞ του δουλειÜ εßναι το θεþρημα Brill-Νoether και το υπüλοιπο, Þ το θεþρημα AF + BG, ενþ υπÜρχουνε διÜφορα Üλλα θεωρÞματα που συνδÝονται με αυτü, üπως το θεþρημα του Μαξ Νοýτερ.


                                    Η οικογÝνεια Νοýτερ

    Εßχε τρßα μικρüτερα αδÝρφια. Ο μεγαλýτερος, ο ¢λφρεντ, γεννÞθηκε το 1883, το 1909 του απονεμÞθηκε απü το ¸ρλαγκεν διδακτορικü στη χημεßα, αλλÜ πÝθανε 9 Ýτη μετÜ. Ο Φριτζ, που γεννÞθηκε το 1884, Ýχει μεßνει στην ιστορßα για τα ακαδημαúκÜ επιτεýγματÜ του: μετÜ απü σπουδÝς στο Μüναχο απÝκτησε φÞμη στα εφαρμοσμÝνα μαθηματικÜ. Ο νεþτερος, Γκοýσταβ Ρüμπερτ, γεννÞθηκε το 1889. Πολý λßγα πρÜγματα εßναι γνωστÜ για τη ζωÞ του, üπως το üτι Ýπασχε απü χρüνια ασθÝνεια και πÝθανε το 1928.
    ΑπÝκτησε απü νωρßς επÜρκεια σε ΓαλλικÜ κι ΑγγλικÜ.Την Üνοιξη του 1900 συμμετεßχε στις εξετÜσεις για καθηγητÝς αυτþν των γλωσσþν κι Ýλαβε πολý καλÞ συνολικÞ βαθμολογßα. Η απüδοσÞ της της Ýδινε τη δυνατüτητα να διδÜξει τις γλþσσες αυτÝς σε σχολεßα που προορßζονταν για κορßτσια, ωστüσο επÝλεξε να συνεχßσει τις σπουδÝς της στα μαθηματικÜ, στο ΠανεπιστÞμιο του ¸ρλαγκεν, üπου δßδασκεν ο πατÝρας της. ΑυτÞ Þταν αντισυμβατικÞ απüφαση, διüτι 2 Ýτη νωρßτερα η ΑκαδημαúκÞ Σýγκλητος του πανεπιστημßου εßχε δηλþσει, üτι το να επιτραπεß η εκπαßδευση και στα δýο φýλα θα ανÝτρεπε üλη την ακαδημαúκÞ τÜξη.
     Ως μßα απü τις 2 μüλις γυναßκες που φοιτοýσανε σε πανεπιστÞμιο 986 ατüμων, επιτρεπüταν να παρακολουθεß μüνο τα μαθÞματα κι üχι να συμμετÝχει üπως κι οι υπüλοιποι φοιτητÝς κι επιπλÝον Ýπρεπε να ζητÞσει την Üδεια του κÜθε καθηγητÞ χωριστÜ στου οποßου τις διαλÝξεις επιθυμοýσε να παρευρßσκεται. Παρüλα τα εμπüδια, στις 14 Ιουνßου 1903 κατÜφερε να περÜσει τις εξετÜσεις αποφοßτησης του Realgymnasium στη ΝυρεμβÝργη. Στη διÜρκεια του χειμερινοý εξαμÞνου το 1903-1904, σποýδασε στο ΠανεπιστÞμιο του ΓκÝντινγκεν, παρακολουθþντας διαλÝξεις του αστρονüμου Καρλ ΣβÜρτσιλντ και των μαθηματικþν Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein, και David Hilbert. Λßγο αργüτερα οι περιορισμοß σχετικÜ με τη συμμετοχÞ των γυναικþν στο πανεπιστÞμιο αυτü ακυρþθηκαν.



    Η Νοýτερ επÝστρεψε στο Erlangen. Εκεß επßσημα ξαναμπÞκε στο πανεπιστÞμιο στις 24 Οκτþβρη 1904 κι ανακοßνωσε την απüφασÞ της να επικεντρωθεß αποκλειστικÜ στα μαθηματικÜ. Υπü την επßβλεψη του Paul Gordan Ýγραψε την διατριβÞ της Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Σε πλÞρη συστÞματα αμετÜβλητων για τριαδικÝς τεταρτοβÜθμιες μορφÝς, 1907). Αν κι εßχε καλÞν αποδοχÞ, αργüτερα περιÝγραψε τη διατριβÞ της ως αποτυχßα. ΜετÜ την ολοκλÞρωση της διατριβÞς της, εργÜστηκε στο Ινστιτοýτο Μαθηματικþν του ¸ρλαγκεν Üνευ αποδοχþν για 7 Ýτη (εκεßνο τον καιρü Þταν πολý ασυνÞθιστο οι γυναßκες να κατÝχουν ακαδημαúκÝς θÝσεις). ΜερικÝς φορÝς αντικαθιστþντας τον πατÝρα της üταν Þτανε πολý Üρρωστος για να διδÜξει. Το 1910 και το 1911 δημοσßευσε μια επÝκταση της διπλωματικÞς εργασßας της απü 3 σε ν μεταβλητÝς.
    Σýμφωνα με τον Hermann Weyl, ο Fischer εßχε σημαντικÞν επιρροÞ στη Νοýτερ, ιδßως με την εισαγωγÞ της στο Ýργο του David Hilbert. Το 1913-1916 δημοσιεýει πολλÜ Üρθρα επεκτεßνοντÜς την κι εφαρμüζοντας τις μεθüδους του Hilbert για τα μαθηματικÜ αντικεßμενα, üπως πεδßα των πραγματικþν συναρτÞσεων κι αμετÜβλητες των πεπερασμÝνων συνüλων. ΑυτÞ η φÜση σηματοδοτεß την Ýναρξη της εμπλοκÞς της με την αφηρημÝνη Üλγεβρα, το πεδßο των μαθηματικþν στο οποßο θα συνεισÝφερε πρωτοποριακÜ Το 1915, προσκλÞθηκε απü τον ΝτÜβιντ Χßλμπερτ και τον Felix Klein για να ενταχθεß στο τμÞμα μαθηματικþν στο ΠανεπιστÞμιο του ΓκÝτινγκεν, ενüς παγκοσμßου φÞμης κÝντρου της μαθηματικÞς Ýρευνας. ¼μως η φιλοσοφικÞ σχολÞ Ýφερε αντιρρÞσεις. Η προσπÜθειÜ τους να τη προσλÜβουν, εßχεν αποκλειστεß απü τους φιλολüγους κι ιστορικοýς της φιλοσοφικÞς σχολÞς: επÝμεναν πως οι γυναßκες, δε θα 'πρεπε να γßνουνε λÝκτορες. ¸να μÝλος της σχολÞς διαμαρτυρÞθηκε λÝγοντας "Τι θα σκεφτοýν οι στρατιþτες μας üταν επιστρÝψουν στο πανεπιστÞμιο και δουν üτι εßναι υποχρεωμÝνοι να μÜθουν υπü την διδασκαλßα μιας γυναßκας"; Ο Hilbert απÜντησε με αγανÜκτηση, δηλþνοντας, "δεν βλÝπω üτι το φýλο της υποψηφßου αποτελεß επιχεßρημα κατÜ της εισδοχÞς της ως privatdozent. ΕξÜλλου, εßμαστε Ýνα πανεπιστÞμιο, üχι Ýνα μπÜνιο", κι Ýτσι αυτÞ πÝρασε 4 Ýτη διδÜσκοντας υπü το üνομα του Χßλμπερτ. Η εξουσιοδüτηση της εγκρßθηκε το 1919, επιτρÝποντÜς της να αποκτÞσει το βαθμü του Privatdozent (λÝκτορα).


                    χρησιμοποioýσε καρτ-ποστÜλ με αφηρημÝνη Üλγεβρα
               με συνÜδελφü της Ernst Fischer. σφραγ. ταχ. 10 Απρßλη 1915.

     Η Νοýτερ Ýφυγε για το ΓκÝτινγκεν τÝλη Απρßλη. 2 βδομÜδες μετÜ, η μητÝρα της πÝθανε ξαφνικÜ στο Erlangen. Εßχε προηγουμÝνως λÜβει ιατρικÞ φροντßδα για μια πÜθηση των ματιþν, αλλÜ το εßδος της θεραπεßας κι η επßδραση στο θÜνατü της τελικÜ εßναι Üγνωστη. Περßπου την ßδια περßοδο ο πατÝρας της αποσýρθηκε κι ο αδελφüς της εντÜχθηκε στο γερμανικü στρατü για να υπηρετÞσει στον Α' Παγκ. Πüλ.. ΕπÝστρεψε στο Erlangen για αρκετÝς εβδομÜδες, κυρßως για να φροντßσει τον ηλικιωμÝνο πατÝρα της. Στα 1α χρüνια της διδασκαλßας της στο ΓκÝτινγκεν δεν εßχε επßσημη θÝση και δεν πληρωνüταν. Η οικογÝνειÜ της πλÞρωνε για τη διαμονÞ της εκεß κι υποστÞριζε το ακαδημαúκü Ýργο της. Οι διαλÝξεις της συχνÜ διαφημιζüνταν υπü το üνομα του Hilbert κι εκεßνη παρεßχε... "βοÞθεια".
    Λßγο μετÜ την ÜφιξÞ της στο ΓκÝτινγκεν, ωστüσο, απÝδειξε κι επÝδειξε τις δυνατüτητÝς της αποδεικνýοντας Ýνα θεþρημα που εßναι τþρα γνωστü ως θεþρημα Νοýτερ, το οποßο δεßχνει üτι Ýνας νüμος διατÞρησης συνδÝεται με οποιαδÞποτε διαφορßσιμη συμμετρßα ενüς φυσικοý συστÞματος. Οι Αμερικανοß φυσικοß Leon M. Lederman και Christopher T. Hill υποστηρßζουν στο βιβλßο τους Συμμετρßα και το üμορφο Σýμπαν üτι "το θεþρημÜ της εßναι σßγουρα Ýνα απü τα πιο σημαντικÜ μαθηματικÜ θεωρÞματα που αποδεßχθηκαν ποτÝ στη καθοδÞγηση της ανÜπτυξης της σýγχρονης φυσικÞς, ενδεχομÝνως στο ßδιο επßπεδο με το Πυθαγüρειο θεþρημα". 3 Ýτη μετÜ, Ýλαβε επιστολÞ απü τον Πρþσσο Υπουργü ΕπιστÞμης, ΤÝχνης και Δημüσιας Εκπαßδευσης, στην οποßα της απονÝμει τον τßτλο της nicht beamteter ausserordentlicher professor (μη-μüνιμη καθηγÞτρια με περιορισμÝνα εσωτερικÜ διοικητικÜ δικαιþματα και καθÞκοντα). Αυτü Þταν μια Üνευ αποδοχþν Ýκτακτη θÝση καθηγÞτριας κι üχι η υψηλüτερη θÝση συνηθισμÝνου» καθηγητÞ, η οποßα Þτανε θÝση δημοσßου.



     ΠαρÜ το γεγονüς üτι αναγνþρισε τη σημασßα του Ýργου της, η θÝση της εξακολουθοýσε να μη της παρÝχει μισθü. Δεν πληρþθηκε για τις διαλÝξεις της μÝχρι που πÞρε τη θÝση της Lehrbeauftragte für Algebra το επüμενο Ýτος. ¼ταν o Α' Παγκ. Πüλ., η ΓερμανικÞ ΕπανÜσταση του 1918-1919 επÝφερε σημαντικÞ αλλαγÞ στη κοινωνικÞ συμπεριφορÜ, καθþς και στα δικαιþματα των γυναικþν. Το 1919 το ΠανεπιστÞμιο του ΓκÝτινγκεν επÝτρεψε στην Νοýτερ να προχωρÞσει με την υφηγεσßα της (υποψÞφια για μονιμüτητα). Η προφορικÞ εξÝταση πραγματοποιÞθηκε τÝλη ΜÜη και παρÝδωσε με επιτυχßα τη διÜλεξη για την υφηγεσßα της τον Ιοýνιο. Αν και το θεþρημÜ της εßχε βαθειÜν επßδραση στη φυσικÞ, μεταξý των μαθηματικþν, εßναι καλλßτερα ενθυμοýμενη για τη δημιουργικÞ συμβολÞ της στην αφηρημÝνη Üλγεβρα. ¼πως λÝει ο Nathan Jacobson στην εισαγωγÞ του στο Noether's Collected Papers:

   "Η ανÜπτυξη της αφηρημÝνης Üλγεβρας, που εßναι Ýνα απü τις πιο χαρακτηριστικÝς καινοτομßες του 20στοý αιþνα στα μαθηματικÜ, οφεßλεται σε μεγÜλο βαθμü σε εκεßνη -στις δημοσιευμÝνες εργασßες, διαλÝξεις και στη προσωπικÞ επιρροÞ της στους συγχρüνους της".

      Η πρωτοποριακÞ εργασßα της στην Üλγεβρα ξεκßνησε το 1920. Σε συνεργασßα με τον W. Schmeidler, Ýκαναν μια δημοσßευση για τη θεωρßα των ιδεωδþν στην οποßα ορßζουνε τα αριστερÜ και δεξιÜ ιδεþδη σε δακτýλιο. Το επüμενο Ýτος Ýκανε μια δημοσßευση-ορüσημο που ονομÜζεται Idealtheorie Ringbereichen, αναλýοντας αýξουσες αλυσιδωτÝς καταστÜσεις σε σχÝση με τα ιδεþδη. Ο καταξιωμÝνος αλγεβριστÞς Irving Kaplansky αποκÜλεσε αυτü το Ýργο επαναστατικü. Η δημοσßευση αυτÞ Ýδωσε αφορμÞ για τον üρο Νουτεριστικüς δακτýλιος (Noetherian ring) και πολλÜ Üλλα μαθηματικÜ αντικεßμενα που ονομÜζονται ΝουτεριστικÜ.
      Το 1924 Ýνας νεαρüς Ολλανδüς μαθηματικüς, o B.L. van der Waerden, πÞγε στο ΠανεπιστÞμιο του ΓκÝτινγκεν. ΑμÝσως Üρχισε να συνεργÜζεται με τη Νοýτερ, η οποßα παρεßχε πολýτιμες μεθüδους ως προς την αφηρημÝνη Üλγεβρα. Ο Van der Waerden αργüτερα εßπε πως η πρωτοτυπßα της Þταν απüλυτη και πÝρα απü κÜθε σýγκριση. Το 1931 δημοσßευσε το Moderne Algebra, Ýνα κεßμενο επικεντρωμÝνο στον τομÝα. Ο 2ος τüμος του δανεßστηκε σε μεγÜλο βαθμü μÝρος της εργασßας της. Αν κι εκεßνη δεν επιδιþκει αναγνþριση, ο BL van der Waerden περιλαμβÜνει ως σημεßωση στην 7η Ýκδοση πως εßναι βασισμÝνη εν μÝρει σε διαλÝξεις των Ε. Artin & E. Noether. ΜερικÝς φορÝς εßχε επιτρÝψει σε συναδÝλφους και φοιτητÝς της να χρησιμοποιÞσουνε τις ιδÝες της, βοηθþντας τους να αναπτýξουνε τη σταδιοδρομßα τους σε βÜρος της δικÞς της.



      Η επßσκεψη του Van der Waerden Þταν μÝρος μιας συγκλÞτου μαθηματικþν απ' üλο τον κüσμο στο ΓκÝτινγκεν, το οποßον Ýγινε σημαντικü κÝντρο μαθηματικÞς και φυσικÞς Ýρευνας. Τη περßοδο 1926-1930 ο Ρþσσος τοπολογιστÞς Pavel Alexandrov δßδαξε στο πανεπιστÞμιο και γρÞγορα Ýγινε καλüς φßλος με τη Νοýτερ. Ξεκßνησε ν' αναφÝρεται σε αυτÞν ως “der Noether”, χρησιμοποιþντας το αρσενικü Üρθρο στα ΓερμανικÜ για να δεßξει το σεβασμü του. ΑυτÞ προσπÜθησε να μεριμνÞσει γι' αυτüν να λÜβει θÝση στο ΓκÝτινγκεν ως τακτικüς καθηγητÞς, αλλÜ κατÜφερε μüνο να τονε βοηθÞσει να εξασφαλßσει μια υποτροφßα απü το ºδρυμα ΡοκφÝλερ. Συναντιþνταν τακτικÜ κι απολÜμβαναν τις συζητÞσεις σχετικÜ με τις διασταυρþσεις Üλγεβρας και τοπολογßας. Το 1935 στο κεßμενο του μνημüσυνου της ο Alexandrov την αποκÜλεσε ως "τη μεγαλýτερη γυναßκα μαθηματικü üλων των εποχþν".
      Στο ΓκÝτινγκεν, επιτηρεß μεγÜλον αριθμü υποψÞφιων διδακτüρων. Η 1η της Þταν η Grete Hermann, που υπερασπßστηκε τη διατριβÞ της το ΦλεβÜρη του 1925. Αργüτερα μßλησε ευλαβικÜ ως προς αυτÞν αναφÝροντας την ως μητÝρα της διατριβÞς της. ΕπιτÞρησεν επßσης τον Max Deuring, που διακρßθηκε ως προπτυχιακüς φοιτητÞς και στη συνÝχεια συνÝβαλε σημαντικÜ στον τομÝα της αριθμητικÞς γεωμετρßας, τον Hans Fitting, γνωστü για το θεþρημα του Fitting (Fitting's theorem) και τo ΛÞμμα του Fitting (Fitting lemma), και τον Zeng Jiongzhi (γνωστüς ως Chiungtze C. Tsen στο αγγλικÜ), ο οποßος απÝδειξε το θεþρημα Tsen (Tsen's Theorem). ΣυνεργÜστηκεν επßσης στενÜ με τον Wolfgang Krull, που προþθησε σε μεγÜλο βαθμü την αντιμεταθετικÞ Üλγεβρα με τη Hauptidealsatz και τη θεωρßα διÜστασÞς του για αντιμεταθετικοýς δακτυλßους.
      Εκτüς απü τις μαθηματικÝς γνþσεις της, εßχε το σεβασμü των υπολοßπων για τη συμπεριφορÜ της προς τους Üλλους. Αν και μερικÝς φορÝς εκφραζüταν με αγÝνεια προς εκεßνους που διαφωνοýσαν μαζß της, κÝρδισε φÞμη για τη συνεχÞ εξυπηρετικüτητα κι υπομονετικÞ καθοδÞγηση των νÝων φοιτητþν. Η αφοσßωσÞ της στη μαθηματικÞν ακρßβεια προκÜλεσε Ýνα συνÜδελφο να την αποκαλÝσει σοβαρÞ κριτικü, αλλÜ συνδýαζε αυτü το αßτημα για ακρßβεια με αισιüδοξη κι ελπιδοφüρα στÜση. ‘¸νας συνÜδελφος τη περιÝγραψε αργüτερα Ýτσι:. "Καθüλου εγωιστικüς χαρακτÞρας και χωρßς ματαιοδοξßα, ποτÝ δεν ισχυρßστηκε τßποτα για τον εαυτü της, οýτε διεκδßκησε, αλλÜ προþθησε τα Ýργα των μαθητþν της πÜνω απ’üλα". Η λιτÞ ζωÞ της στην αρχÞ Þτανε λüγω του üτι αρνÞθηκε αμοιβÞ για το Ýργο της. Ωστüσο, ακüμη κι üταν Üρχισε να πληρþνεται Ýνα μικρü μισθü απü το πανεπιστÞμιο το 1923, συνÝχισε να ζει απλÞ και ταπεινÞ ζωÞ. Πληρþθηκε πιο γενναιüδωρα αργüτερα στη ζωÞ της, αλλÜ κληροδüτησε το Þμισυ του μισθοý της στον ανιψιü της, Gottfried E. Noether.



      Κυρßως αδιÜφορη για την εμφÜνιση και τους τρüπους της, επικεντρþθηκε στις μελÝτες της κι απÝκλεισε το ρομαντισμü και τη μüδα. Μια διακεκριμÝνη της Üλγεβρας, η Olga Taussky-Todd περιγρÜφει Ýνα γεýμα, στη διÜρκεια του οποßου η Νοýτερ πλÞρως απορροφημÝνη σε μια μαθηματικÞ συζÞτηση, εκφραζüταν με Üγριο τρüπο καθþς Ýτρωγε και της Ýπεφτε το φαγητü συνεχþς και το σκοýπιζε απü το φüρεμÜ της, εντελþς ατÜραχη. ΦοιτητÝς που Þτανε προσεκτικοß με την εμφÜνιση μαζεýονταν απü φüβο καθþς η ßδια Ýπαιρνε το μαντÞλι απü τη μπλοýζα της κι αγνοοýσε το ανακατεμÝνο της μαλλß κατÜ τη διÜρκεια των διαλÝξεων. 2 μαθÞτριες τη πλησιÜσανε μια φορÜ κατÜ τη διÜρκεια του διαλεßμματος ενüς 2ωρου μαθÞματος για να εκφρÜσουνε την ανησυχßα τους, αλλÜ δεν Þταν σε θÝση να της τραβÞξουνε τη προσοχÞ απü την ενεργητικÞ μαθηματικÞ συζÞτηση που εßχε με Üλλους μαθητÝς.
      Σýμφωνα με τη νεκρολογßα του Van der Waerden για την ¸μι ΝÝτερ, δεν ακολουθοýσε Ýνα πλÜνο για τις διαλÝξεις της, πρÜγμα το οποßο απογοÞτευε μερικοýς μαθητÝς. Αντ 'αυτοý, χρησιμοποιοýσε τις διαλÝξεις της ως þρες αυθüρμητης συζÞτησης με τους μαθητÝς της για να σκÝφτεται και να διευκρινßζει σημαντικÜ μαθηματικÜ προβλÞματα της τüτε εποχÞς. ΜερικÜ απü τα πιο σημαντικÜ αποτελÝσματÜ της αναπτυχθÞκανε σ' αυτÝς τις διαλÝξεις, καθþς κι οι σημειþσεις απü τις διαλÝξεις των μαθητþν της αποτελÝσανε τη βÜση για πολλÜ σημαντικÜ βιβλßα, üπως αυτÜ των Van der Waerden και Deuring.
      ΠαρÝμεινε ηγετικü στÝλεχος του ΤμÞματος Μαθηματικþν του ΓκÝτινγκεν μÝχρι το 1933. Οι μαθητÝς της Þταν γνωστοß και ως "αγüρια της ΝÝτερ". Το 1924, ο Ολλανδüς μαθηματικüς BL van der Waerden εντÜχθηκε στον κýκλο της και σýντομα Ýγινε ο κορυφαßος εκφραστÞς των ιδεþν της ΝÝτερ. Το Ýργο της Þταν η βÜση για το δεýτερο τüμο του επιδραστικοý βιβλßου του το 1931, Moderne Algebra. ¼ταν ανÝλαβε τη διεýθυνση της ολομÝλειας το 1932 στο ΔιεθνÝς ΣυνÝδριο των Μαθηματικþν στη Ζυρßχη, το αλγεβρικü της δαιμüνιο εßχε αναγνωριστεß σε üλο τον κüσμο. Το επüμενο Ýτος, η κυβÝρνηση της ναζιστικÞς Γερμανßας καθαßρεσε τους Εβραßους απü πανεπιστημιακÝς θÝσεις κι αυτÞ μετακüμισε στις ΗΠΑ για να αναλÜβει θÝση στο Bryn Mawr College στη ΠενσυλβÜνια. Το 1935, υποβλÞθηκε σε χειρουργικÞ επÝμβαση για μια κýστη στις ωοθÞκες και παρÜ τα σημÜδια ανÜκαμψης, πÝθανε 4 μÝρες αργüτερα σε ηλικßα 53 ετþν. 

    Το μαθηματικü Ýργο της Ýχει χωριστεß σε 3 εποχÝς. Στη 1η (1908-1919), συνεισÝφερε σε μεγÜλο βαθμü στις θεωρßες των αλγεβρικþν αναλλοßωτων και των αριθμητικþν σωμÜτων. Το Ýργο της πÜνω στους διαφορικοýς αναλλοßωτους του λογισμοý των συναρτÞσεων, το θεþρημα Νοýτερ, Ýχει χαρακτηριστεß ως Ýν απü τα πιο σημαντικÜ μαθηματικÜ θεωρÞματα που αποδεßχθηκε ποτÝ στη καθοδÞγηση της ανÜπτυξης της σýγχρονης φυσικÞς. Στη 2η (1920-1926), ξεκßνησεν Ýργο που Üλλαξε το πρüσωπο της αφηρημÝνης Üλγεβρας. Στη κλασσικÞ της δημοσßευση Idealtheorie in Ringbereichen (θεωρßα των ιδεωδþν σε χþρους δακτυλßων, 1921) ανÝπτυξε τη θεωρßα των ιδεωδþν στους αντιμεταθετικοýς δακτυλßους σε ισχυρü εργαλεßο με μεγÜλο εýρος εφαρμογþν. ¸κανε κομψÞ χρÞση της συνθÞκης ανερχüμενης αλυσßδας και τα αντικεßμενα που την ικανοποιοýν ονομÜζονται Noetherian προς τιμÞ της. Στη 3η (1927-1935), δημοσßευσε σημαντικÜ Ýργα στη μη μεταθετικÞ Üλγεβρα και τους υπερσýμπλοκους αριθμοýς κι Ýνωσε τη θεωρßα της αναπαρÜστασης ομÜδων με τη θεωρßα των συνüλων και των ιδανικþν. Εκτüς απü τις δικÝς της εκδüσεις, Þτανε γενναιüδωρη με τις ιδÝες της και πιστþνεται με πολλÝς γραμμÝς της σε Ýρευνες που δημοσιευθÞκαν απü Üλλους μαθηματικοοýς, ακüμη και σε τομεßς πολý διαφορετικοýς απü το κýριο Ýργο της, üπως η αλγεβρικÞ τοπολογßα.
   Αρκετοß απü τους συναδÝλφους της παρακολοýθησαν διαλÝξεις της κι επÝτρεψε κÜποιες απü τις ιδÝες της, üπως το εξωτερικü γινüμενο (verschränktes Produkt στα γερμανικÜ) της προσεταιριστικÞς Üλγεβρας, να δημοσιευτοýν απü Üλλους. Εßχε δε, διδÜξει τουλÜχιστον 5 6μηνιαßα μαθÞματα στο ΓκÝτινγκεν:

 * Χειμþνας 1924/25: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Group Theory and Hypercomplex Numbers)

 * Χειμþνας 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Hypercomplex Quantities and Representation Theory)

 * Καλοκαßρι 1928: Nichtkommutative Algebra (Noncommutative Algebra)

 * Καλοκαßρι 1929: Nichtkommutative Arithmetik (Noncommutative Arithmetic)

 * Χειμþνας 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen (Algebra of Hypercomplex Quantities).

     Τα μαθÞματα αυτÜ συχνÜ προηγÞθηκαν σημαντικþν δημοσιεýσεων σε αυτοýς τους τομεßς.

      Μιλοýσε γρÞγορα, γεγονüς που αντικατοπτρßζει τη ταχýτητα της σκÝψης της, πολλοß λÝγανε πως κι απαιτοýσε μεγÜλη συγκÝντρωση απü τους μαθητÝς της. Οι μαθητÝς που δεν τους Üρεσε το στυλ της συχνÜ αισθÜνονταν αποξενωμÝνοι. Μερικοß μÜλιστα θεωροýσαν üτι βασιζüταν υπερβολικÜ σε αυθüρμητες συζητÞσεις. Οι πιο αφοσιωμÝνοι μαθητÝς της üμως απολαμβÜνανε τον ενθουσιασμü με τον οποßο προσÝγγιζε τα μαθηματικÜ, ειδικÜ επειδÞ οι διαλÝξεις τις συχνÜ βασßζονταν σε προηγοýμενες εργασßες που 'χανε κÜνει μαζß. ΑνÝπτυξε στενü κýκλο συναδÝλφων και φοιτητþν που σκÝφτονταν με τον ßδιο τρüπο κι απÝκλεισε τους Üλλους. Εξωτερικοß επισκÝπτες των διαλÝξεþν της συνÞθως Ýμεναν μüνο 30 λεπτÜ στην αßθουσα πριν αναχωρÞσουν απογοητευμÝνοι Þ συγχυσμÝνοι. ¸νας τακτικüς μαθητÞς εßχε πει σε μßα τÝτοια περßπτωση: "Ο εχθρüς ηττÞθηκε -Ýχει φýγει". ¸δειχνε αφοσßωση στο αντικεßμενο και τους μαθητÝς της πÝραν της ακαδημαúκÞς ημÝρας. ΚÜποτε, üταν το κτßριο Ýκλεισε για μιαν αργßα, συγκÝντρωσε τη τÜξη Ýξω στα σκαλιÜ, τους οδÞγησε μες στο δÜσος και δßδαξε σε τοπικü καφÝ. Αργüτερα, αφοý εßχεν απορριφθεß απü το Τρßτο ΡÜιχ, προσκÜλεσε τους μαθητÝς στο σπßτι της για να συζητÞσουνε τα μελλοντικÜ τους σχÝδια και μαθηματικÝς Ýννοιες.



      Το χειμþνα του 1928-1929 δÝχτηκε πρüσκληση για το Κρατικü ΠανεπιστÞμιο της Μüσχας, üπου συνεργÜστηκε με τον P.S. Alexandrov. Εκτüς απü τη συνÝχιση της ÝρευνÜς της, δßδαξε μαθÞματα αφηρημÝνης Üλγεβρας κι αλγεβρικÞς γεωμετρßας. ΕργÜστηκε με τους τοπολογιστÝς Lev Pontryagin και Nikolai Chebotaryov, που αργüτερα επικρüτησαν τη συνεισφορÜ της στην ανÜπτυξη της θεωρßας ΓκαλουÜ. ΠαρÜ το γεγονüς üτι η πολιτικÞ δεν την ενδιÝφερε και ποτÝ ιδιαßτερα, ανÝπτυξε Ýντονο ενδιαφÝρον για τα πολιτικÜ ζητÞματα και σýμφωνα με τον Alexandrov, Ýδειξε σημαντικÞ υποστÞριξη στη ΡωσικÞ ΕπανÜσταση (1917). ¹ταν ιδιαßτερα ευτυχÞς üταν εßδε σοβιετικÞ ανÜπτυξη στους τομεßς της επιστÞμης και των μαθηματικþν, που θεωρεß ενδεικτικü των νÝων ευκαιριþν που γßνανε δυνατÝς απü το Ýργο των Μπολσεβßκων. Η στÜση της αυτÞ προκÜλεσε προβλÞματα στη Γερμανßα, με αποκορýφωμα την Ýξωση της απü Ýνα ξενοδοχεßο, αφοý οι ηγÝτες των φοιτητþν παραπονÝθηκαν üτι ζουν με μια Μαρξßστρια Εβραßα. ΠρογραμμÜτισε να επιστρÝψει στη Μüσχα, προσπÜθεια που υποστÞριξε ο Alexandrov. Αφοý Ýφυγε απü τη Γερμανßα το 1933, προσπÜθησε να τη βοηθÞσει ν' αποκτÞσει θÝση στο Κρατικü ΠανεπιστÞμιο της Μüσχας απü το Σοβιετικü Υπουργεßο Παιδεßας. Αν κι αυτÞ η προσπÜθεια Þταν ανεπιτυχÞς, επικοινωνοýσανε συχνÜ κατÜ τη διÜρκεια της δεκαετßας του 1930, και το 1935 Ýκανε σχÝδια για την επιστροφÞ της στη ΣοβιετικÞ ¸νωση. Εν τω μεταξý, ο αδελφüς της Φριτζ δÝχτηκε μια θÝση στο Ινστιτοýτο ¸ρευνας για τα ΜαθηματικÜ και ΜηχανικÞ στο Τομσκ, στη Σιβηρßα της Ρωσßας, αφοý Ýχασε τη δουλειÜ του στη Γερμανßα.
      Το 1932 η Νοýτερ κι ο Emil Artin Ýλαβαν το βραβεßο Ackermann-Teubner για τη συμβολÞ τους στα μαθηματικÜ. Το βραβεßο Þτανε χρηματικÞ αμοιβÞ 500 μÜρκων και θεωρÞθηκε ως αναμενüμενη επßσημη αναγνþριση του σημαντικοý Ýργου της στον τομÝα αυτü. Παρ üλα αυτÜ, οι συνÜδελφοß της εξÝφρασαν την απογοÞτευσÞ τους για το γεγονüς üτι δεν εξελÝγη στο Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (ακαδημßα των επιστημþν) και ποτÝ δεν προÞχθη στη θÝση του Ordentlicher Professor (καθηγητÞς). Οι συνÜδελφοß της γιüρτασαν τα 50στÜ της γενÝθλια της το 1932, σε παραδοσιακü στυλ μαθηματικþν. Ο Helmut Hasse αφιÝρωσε Ýνα Üρθρο σε αυτÞν στο Mathematische Annalen, üπου ο ßδιος επιβεβαßωσε την υποψßα της üτι ορισμÝνες πτυχÝς της μη-αντιμεταθετικÞς Üλγεβρας εßναι απλοýστερες απü üτι κεßνες της αντιμεταθετικÞς Üλγεβρας, αποδεικνýοντας Ýνα μη-αντιμεταθετικü νüμο της αμοιβαιüτητας. Αυτü την ικανοποßησε πÜρα πολý. Επßσης, της Ýστειλε Ýνα μαθηματικü αßνιγμα, το αßνιγμα των συλλαβþν, το οποßο Ýλυσε αμÝσως. Το αßνιγμα Ýχει χαθεß. Το ΝοÝμβρη του ßδιου Ýτους, εκφþνησε μεγÜλη διÜλεξη (Vortrag großer) με θÝμα Υπερσýνθετα συστÞματα σε σχÝση με την αντιμεταθετικÞ Üλγεβρα και τη θεωρßα αριθμþν στο ΔιεθνÝς ΣυνÝδριο των Μαθηματικþν στη Ζυρßχη. Το συνÝδριο παρακολοýθησαν 800 Üτομα, μεταξý αυτþν κι οι συνÜδελφοß της Hermann Weyl, Edmund Landau και Wolfgang Krull. ΥπÞρχαν 420 επßσημες συμμετοχÝς κι 21 παρουσιÜσεις. Προφανþς, η εξÝχουσα θÝση της Þταν μια αναγνþριση της σημασßας της συνεισφορÜς της στα μαθηματικÜ. Το συνÝδριο του 1932 περιγρÜφεται ως η μεγÜλη στιγμÞ της καρριÝρας της.


           Το ¸ρλανγκεν γενÝτειρÜ της, σε καρτ-ποστÜλ της εποχÞς

    ¼ταν ο Αδüλφος Χßτλερ Ýγινε καγκελÜριος το ΓενÜρη του 1933, η ναζιστικÞ δραστηριüτητα σε üλη τη χþρα αυξÞθηκε δραματικÜ. Στο ΠανεπιστÞμιο του ΓκÝτινγκεν της Γερμανßας ο Φοιτητικüς Σýλλογος οδÞγησε την επßθεση στο "αντι-γερμανικü πνεýμα» που αποδιδüταν στους Εβραßους και βοηθÞθηκε απü Ýνα λÝκτορα τον Werner Weber, πρþην φοιτητÞ της. Οι αντισημιτικÝς συμπεριφορÝς δημιοýργησαν Ýνα κλßμα εχθρικü ως προς τους εβραßους καθηγητÝς. ¸νας νεαρüς διαδηλωτÞς φÝρεται να ζÞτησε: "¢ριοι μαθητÝς θÝλουν ¢ρια κι üχι εβραúκÜ μαθηματικÜ". Απü τις 1ες ενÝργειες του Χßτλερ Þταν ο Νüμος για την ΑποκατÜσταση του Επαγγελματικοý Δημüσιου ΤομÝα που απομÜκρυνε Εβραßους και πολιτικÜ ýποπτους δημüσιους υπαλλÞλους (συμπεριλαμβανομÝνων των πανεπιστημιακþν καθηγητþν) απü τις δουλειÝς τους αν δεν εßχαν αποδεßξει τη πßστη τους στη Γερμανßα στον Α' Παγκ. Πüλ. Τον Απρßλη του 1933 η Νοýτερ Ýλαβε ειδοποßηση απü το Πρωσσικü Υπουργεßο Επιστημþν, Τεχνþν, και Δημüσιας Εκπαßδευσης που Ýγραφε: "ΒÜσει της παραγρÜφου 3 του Υπαλληλικοý Κþδικα, της 7ης Απριλßου 1933 με τη παροýσα επιστολÞ σου αφαιρþ το δικαßωμα να διδÜσκεις στο ΠανεπιστÞμιο του ΓκÝτινγκεν".
     Αρκετοß απü τους συναδÝλφους της, συμπεριλαμβανομÝνων των Max Born και Richard Courant, εßχαν επßσης ανακληθεß απü τις θÝσεις τους. Εκεßνη αποδÝχθηκε την απüφαση Þρεμα, παρÝχοντας υποστÞριξη στους Üλλους κατÜ τη διÜρκεια αυτÞς της δýσκολης χρονιÜς. Ο Hermann Weyl αργüτερα Ýγραψε: "Το θÜρρος της ¸μι Νοýτερ, η ειλικρßνεια, η αδιαφορßα για τη δικÞ της μοßρα, το συμφιλιωτικü πνεýμα της, Þταν μÝσω του μßσους και της μιζÝριας, της απüγνωσης και της θλßψης που μας περιβÝβαλλε, μια ηθικÞ παρηγοριÜ". ΤυπικÜ παρÝμεινε επικεντρωμÝνη στα μαθηματικÜ, συγκεντρþνοντας μαθητÝς στο διαμÝρισμÜ της για να συζητÞσουνε τη θεωρßα κλÜσης των σωμÜτων. ¼ταν Ýνας απü τους μαθητÝς της εμφανßστηκε με τη στολÞ της ναζιστικÞς παραστρατιωτικÞς οργÜνωσης Sturmabteilung (SA), δεν Ýδειξε κανÝνα σημÜδι ταραχÞς και σýμφωνα με πληροφορßες, ακüμη και γÝλασε γι' αυτü αργüτερα.
    ¼πως δεκÜδες πρoσφÜτως Üνεργοι καθηγητÝς Üρχισαν να ψÜχνουνε για θÝσεις εκτüς Γερμανßας, οι συνÜδελφοß τους στις ΗΠΑ Üρχισαν να παρÜσχουνε βοÞθεια κι ευκαιρßες απασχüλησης σε αυτοýς. Ο Αλμπερτ ΑúνστÜιν κι ο Hermann Weyl εßχανε διοριστεß στο Institute for Advanced Study στο Πρßνστον, ενþ Üλλοι προσπÜθησαν να βρουν Ýνα χορηγü για νüμιμη μετανÜστευση. Η Νοýτερ Þρθε σε επαφÞ με τους εκπροσþπους των 2 εκπαιδευτικþν ιδρυμÜτων, το Bryn Mawr College στις ΗΠΑ και το Somerville College στο ΠανεπιστÞμιο της Οξφüρδης στην Αγγλßα. ΜετÜ απü μια σειρÜ διαπραγματεýσεων με το ºδρυμα ΡοκφÝλλερ, μια επιχορÞγηση στο Bryn Mawr εγκρßθηκε για κεßνη και πÞρε μια θÝση εκεß, αρχÞς γενομÝνης απü του 1933.


                  Το φιλüξενο Bryn Mawr στο δειλινü

    Στο Bryn Mawr συνÜντησε την Anna Wheeler, που εßχε σπουδÜσει στο ΓκÝτινγκεν, λßγο πριν φτÜσει εκεß. Μια Üλλη πηγÞ στÞριξης στο κολÝγιο Þταν ο πρþην πρüεδρος του Bryn Mawr, ο Marion Edwards Park, ο οποßος κÜλεσε με ενθουσιασμü τους μαθηματικοýς της περιοχÞς για να δοýνε τη Δρ. Νοýτερ σε δρÜση! Μαζß με μια μικρÞ ομÜδα μαθητþν της δοýλεψε γρÞγορα μÝσω του βιβλßου του Van der Waerden, Moderne Algebra I και σε τμÞματα της Theorie του Erich Hecke (θεωρßα αλγεβρικþν αριθμþν, 1908). Το 1934, Üρχισε να δßνει διαλÝξεις στο Institute for Advanced Study στο Πρßνστον κατüπιν πρüσκλησης των Abraham Flexner κι Oswald Veblen. ¸χει επßσης συνεργαστεß κι επιτηρÞσει με τους Abraham Albert και Harry Vandiver. Εν τοýτοις, παρατÞρησε σχετικÜ με το Princeton üτι δεν Þταν ευπρüσδεκτη στο πανεπιστÞμιο των ανδρþν, üπου τßποτα γυναικεßο δεν γßνεται δεκτü. Η διαμονÞ της στις ΗΠΑ Þταν ευχÜριστη, περιβαλλüμενη απü υποστηρικτικοýς συναδÝλφους κι απορροφημÝνη στα αγαπημÝνα θÝματÜ της. Το καλοκαßρι του 1934 για λßγο επÝστρεψε στη Γερμανßα να δεß τον Emil Artin Fritz και τον αδελφü της πριν φýγει για Τομσκ. ΠαρÜ το γεγονüς üτι πολλοß απü τους πρþην συναδÝλφους της εßχαν αναγκαστεß να φýγουν απü τα πανεπιστÞμια, Þτανε σε θÝση να χρησιμοποιÞσει τη βιβλιοθÞκη ως μια ξÝνη μαθÞτρια.
    Τον Απρßλη του 1935 οι γιατροß ανακÜλυψαν Ýναν üγκο στη λεκÜνη της. ΑνÞσυχοι για τις επιπλοκÝς απü τη χειρουργικÞ επÝμβαση, προτεßνουνε μÝρες ξεκοýραση στο κρεβÜτι πρþτα. ΚατÜ την επÝμβαση βρÞκαν μια ωοθηκικÞ κýστη στο μÝγεθος ενüς μεγÜλου πεπονιοý. Δýο μικρüτεροι, καλοÞθεις üγκοι στη μÞτρα της εμφανßστηκαν και δεν αφαιρÝθηκαν για να αποφευχθοýν περαιτÝρω χειρουργικÝς επεμβÜσεις. Για 3 μÝρες φαινüταν ν' αναρρþνει κανονικÜ κι ανÝρρωσε γρÞγορα απü τη κατÜρρευση του κυκλοφορικοý στη 4η. Στις 14 Απρßλη Ýπεσε αναßσθητη, η θερμοκρασßα της αυξÞθηκε σε 109 °F (42.8 °C), και πÝθανε. "Δεν εßναι εýκολο να ποýμε τι εßχε συμβεß στη Δρ Νοýτερ, Ýγραψε Ýνας απü τους γιατροýς. "Εßναι πιθανü να υπÞρχε κÜποια μορφÞ ασυνÞθιστης λοιμογüνου μüλυνσης, η οποßα χτýπησε τη βÜση του εγκεφÜλου, üπου βρßσκονται τα κÝντρα θερμοκρασßας". Λßγες ημÝρες μετÜ το θÜνατü της, οι φßλοι της και συνεργÜτες στο Bryn Mawr πραγματοποßησαν Ýνα μικρü μνημüσυνο στο σπßτι του College President Park. Ο Hermann Weyl κι ο Richard Brauer ταξßδεψαν απü το Πρßνστον και μßλησαν με τους Wheeler και Taussky για τη συνÜδελφü τους κι αναχþρησαν. Τους μÞνες που ακολοýθησαν Üρχισαν να εμφανßζονται γραπτÜ αφιερþματα σε üλο τον κüσμο: Ο Albert Einstein με τους Van der Waerden, Weyl, και Pavel Alexandrov Ýστειλαν τα σÝβη τους. Το σþμα της αποτεφρþθηκε κι οι στÜχτες της θÜφτηκαν κÜτω απü τη διÜβαση πεζþν γýρω απü το μοναστÞρι της M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.

                  M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.

    Πρþτα απ 'üλα εκτιμÜται απü τους μαθηματικοýς ως ειδÞμων της Üλγεβρας και για τη συνεισφορÜ της στη τοπολογßα. Οι φυσικοß την εκτιμοýνε πιüτερο για το διÜσημο θεþρημα της, λüγω της εκτεταμÝνης συνÝπειÜς στη ΘεωρητικÞ ΦυσικÞ και τα δυναμικÜ συστÞματα. ¸δειξε μιαν οξεßα τÜση για την αφηρημÝνη Üλγεβρα, που της επÝτρεψε να προσεγγßσει τα προβλÞματα των μαθηματικþν σε νÝους και πρωτüτυπους τρüπους. Ο φßλος και συνÜδελφüς της Hermann Weyl περιγρÜφει την επιστημονικÞ παραγωγÞ της σε 3 σαφþς διακριτÝς εποχÝς:

   1) Η περßοδος της σχετικÞς εξÜρτησης, 1907-1919: Στη 1η εποχÞ (1907-19), ασχολÞθηκε πρωτßστως με διαφορικÝς κι αλγεβρικÝς σταθερÝς, αρχßζοντας με τη διατριβÞ της υπü του Paul Gordan. Οι μαθηματικοß ορßζοντες της διευρýνθηκαν και το Ýργο της Ýγινε πιο γενικü κι αφηρημÝνο, αφοý Ýγινε γνþστης του Ýργο του David Hilbert, μÝσω στενÞς συνεργασßας με τον αντικαταστÜτη του Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Αφοý μετακüμισε στο ΓκÝτιγκεν το 1915, παρÞγαγε τη δημιουργικÞ της εργασßα της στη φυσικÞ, τα δýο θεωρÞματα Νοýτερ.

   2) Οι Ýρευνες που συσπειρþθηκαν γýρω απü την γενικÞ θεωρßα των ιδεωδþν 1920-1926: Στη 2η εποχÞ (1920-26), αφιÝρωσε το χρüνο της στην εξÝλιξη της θεωρßας των μαθηματικþν δακτυλßων.

   3) Η μελÝτη των μη-αντιμεταθετικþν αλγεβρικþν αναπαραστÜσεþν τους με γραμμικοýς μετασχηματισμοýς κι η εφαρμογÞ τους στη μελÝτη των σωμÜτων με αντιμεταθετικοýς αριθμοýς και της αριθμητικÞς τους: Στη 3η εποχÞ (1927-35), επικεντρþθηκε στη μη-αντιμεταθετικÞ Üλγεβρα, στους γραμμικοýς μετασχηματισμοýς και σταθεροý υπολογισμοý πεδßα αριθμþν.

    Τον αιþνα απü το 1832 ως το θÜνατü της το 1935, ο τομÝας των μαθηματικþν -ειδικÞ Üλγεβρα- υπÝστη μια μεγÜλη επανÜσταση, που ο απüηχüς της εßναι ακüμη αισθητüς. Μαθηματικοß των προηγοýμενων αιþνων εßχανε δουλÝψει πÜνω σε πρακτικÝς μεθüδους για την επßλυση συκρεκριμÝνων τýπων εξισþσεων, π.χ. τριτοβÜθμιων, τεταρτοβÜθμιων και πεμπτοβÜθμιων üπως επßσης και στο σχετικü πρüβλημα κατασκευÞς κανονικþν πολυγþνων με κανüνα και διαβÞτη. Ξεκινþντας με την απüδειξη του Καρλ Φρßντριχ ΓκÜους το 1832,σýμφωνα με την οποßα πρþτοι αριθμοß üπως το 5 μποροýν να παραγοντοποιηθοýν σε Γκαουσιανοýς ακεραßους, την εισαγωγÞ του Εβαρßστ ΓκαλουÜ στις ομÜδες μεταθÝσεων, το 1832 (αν και λüγω του θανÜτου του οι μελÝτες του δημοσιεýθηκαν μüλις το 1846 απü τον Liouville), η ανακÜλυψη του William Rowan Hamilton των τεταρτιωνýμων το 1843 κι ο πιο σýγχρονος ορισμüς του Arthur Cayley πÜνω στις ομÜδες το 1854, η Ýρευνα στρÜφηκε προς τον καθορισμü των ιδιοτÞτων των üλο και πιο αφηρημÝνων συστημÜτων που ορßζονται απü üλο και πιο καθολικοýς κανüνες. Οι πιο σημαντικÝς συνεισφορÝς της Νοýτερ στα μαθηματικÜ, Þτανε για την ανÜπτυξη του νÝου αυτοý τομÝα, της αφηρημÝνης Üλγεβρας.
    2 απü τα πιο βασικÜ αντικεßμενα μελÝτης στην αφηρημÝνη Üλγεβρα εßναι οι ομÜδες κι οι δακτýλιοι. Μια ομÜδα αποτελεßται απü Ýνα σýνολο στοιχεßων και μßα πρÜξη, η οποßα συνδυÜζει Ýνα 1ο κι Ýνα 2ο στοιχεßο κι επιστρÝφει Ýνα 3ο. Η πρÜξη πρÝπει να πληροß ορισμÝνους περιορισμοýς για να ορßσει μια ομÜδα: ΠρÝπει να 'ναι κλειστÞ (üταν εφαρμüζεται σε κÜθε ζεýγος στοιχεßων του συνüλου, το παραγüμενο στοιχεßο πρÝπει επßσης να 'ναι μÝλος αυτοý του συνüλου), πρÝπει να 'ναι προσεταιριστικÞ, πρÝπει να υπÜρχει Ýν ουδÝτερο στοιχεßο (στοιχεßο που, üταν συνδυÜζεται με Üλλο χρησιμοποιþντας τη πρÜξη, δßνει αποτÝλεσμα το αρχικü στοιχεßο, üπως üταν προσθÝσεις το 0 σε αριθμü Þ πολλαπλασιÜσεις με το 1) και για κÜθε στοιχεßο πρÝπει να υπÜρχει Ýν αντßστροφο στοιχεßο. ¸νας δακτýλιος απü την Üλλη, περιλαμβÜνει Ýνα σýνολο απü στοιχεßα, αλλÜ τþρα Ýχει 2 πρÜξεις. Η 1η πρÝπει να κÜνει το σýνολο μια ομÜδα, κι η 2η να 'ναι προσεταιριστικÞ κι επιμεριστικÞ σε σχÝση με τη 1η. Μπορεß να 'ναι κι αντιμεταθετικÞ: Αυτü σημαßνει üτι το αποτÝλεσμα της εφαρμογÞς της πρÜξης απü Ýνα 1ο σ' Ýνα 2ο στοιχεßο εßναι το ßδιο με το αποτÝλεσμα της πρÜξης απü το 2ο στο 1ο -η σειρÜ των στοιχεßων δεν Ýχει σημασßα. Αν κÜθε μη μηδενικü στοιχεßο Ýχει Ýνα πολλαπλασιαστικü αντßστροφο (Ýνα στοιχεßο Χ τÝτοιο þστε ax=xa=1), ο δακτýλιος ονομÜζεται δακτýλιος με διαßρεση. ¸να σþμα ορßζεται ως Ýνας αντιμεταθετικüς δακτýλιος διαßρεσης.


                           Το πανεπιστÞμιο του ΓκÝτιγκεν

    Οι ομÜδες μελετοýνται συχνÜ μÝσω των αντιπροσωπευτικþτερων στοιχεßων τους. Στη γενικþτερη μορφÞ τους, αποτελοýνται απü μιαν επιλογÞ της ομÜδας, ενüς συνüλου και τη δρÜση της ομÜδας στο σýνολο, δηλαδÞ, μια πρÜξη η οποßα λαμβÜνει Ýνα στοιχεßο της ομÜδας κι Ýνα στοιχεßο του συνüλου κι επιστρÝφει Ýνα στοιχεßο του συνüλου. Τις περισσüτερες φορÝς, το σýνολο εßναι Ýνας διανυσματικüς χþρος κι η ομÜδα αντιπροσωπεýει τις συμμετρßες του διανυσματικοý χþρου. Για παρÜδειγμα, υπÜρχει μια ομÜδα η οποßα αντιπροσωπεýει τις σταθερÝς περιστροφÝς του χþρου. Αυτü εßναι Ýνα εßδος συμμετρßας του χþρου, επειδÞ ο ßδιος ο χþρος δεν αλλÜζει üταν περιστρÝφεται ακüμη κι αν αλλÜζουν οι θÝσεις των στοιχεßων σε αυτü. Η Νοýτερ χρησιμοποßησε αυτÜ τα εßδη των συμμετριþν στην εργασßα της σχετικÜ με τις αναλλοßωτες ομÜδες στη φυσικÞ.

     ¸ν ισχυρüν εργαλεßο μελÝτης των δακτυλßων εßναι μÝσω των modules τους. ¸να module αποτελεßται απü Ýνα δακτýλιο, Ýν Üλλο σýνολο, συνÞθως διαφορετικü απü το υποκεßμενο σýνολο του δακτυλßου το οποßο ονομÜζεται υποκεßμενο σýνολο του module, μια πρÜξη σε ζεýγη των στοιχεßων του υποκεßμενου συνüλου του module και μια πρÜξη η οποßα λαμβÜνει Ýνα στοιχεßο του δακτυλßου κι Ýνα στοιχεßο του module κι επιστρÝφει Ýνα στοιχεßο του module. To υποκεßμενo σýνολο του module με τη πρÜξη του πρÝπει να αποτελεß μιαν ομÜδα. ¸να module εßναι μια δακτυλιο-θεωρητικÞ εκδοχÞ παρÜστασης της ομÜδας: Αγνοþντας τη 2η πρÜξη του δακτυλßου και τη πρÜξη σε ζεýγη των στοιχεßων του module ορßζουμε μια αναπαρÜσταση της ομÜδας. Η πραγματικÞ χρησιμüτητα των modules εßναι üτι τα εßδη των που υπÜρχουν κι οι αλληλεπιδρÜσεις τους, αποκαλýπτουνε τη δομÞ του δακτυλßου με τρüπους που δεν εßναι εμφανεßς απü τον ßδιο το δακτýλιο. Μια σημαντικÞ ειδικÞ περßπτωση αυτþν εßναι μια Üλγεβρα. (Η λÝξη Üλγεβρα αναφÝρεται και στον γνωστü κλÜδο των μαθηματικþν, καθþς και σε στοιχεßο που συναντÜμε στον κλÜδο της Üλγεβρας). Μια Üλγεβρα αποτελεßται απü 2 δακτυλßους και μια πρÜξη που παßρνει Ýνα στοιχεßο απü κÜθε δακτýλιο κι επιστρÝφει Ýνα στοιχεßο του 2ου δακτυλßου. ΑυτÞ η πρÜξη καθιστÜ το 2ο δακτýλιο Ýνα module πÜνω απü τον 1ο. ΣυχνÜ ο 1ος δακτýλιος εßναι Ýνα σþμα.
      ΛÝξεις üπως "στοιχεßο" και "που συνδυÜζει τη πρÜξη" εßναι πολý γενικÝς και μπορεß να εφαρμοστοýνε σε πολλÝς αληθινÝς κι αφηρημÝνες καταστÜσεις. ΟποιοδÞποτε σýνολο των πραγμÜτων που υπακοýει üλους τους κανüνες για μßα Þ δýο πρÜξη/εις εßναι, εξ ορισμοý, μια ομÜδα (Þ δακτýλιος) κι υπακοýει üλα τα θεωρÞματα για τις ομÜδες (Þ δακτυλßους). Οι ακÝραιοι αριθμοß κι οι πρÜξεις της πρüσθεσης και του πολλαπλασιασμοý, εßναι μüνον Ýνα παρÜδειγμα. Για παρÜδειγμα, τα στοιχεßα μπορεß να 'ναι οι λÝξεις δεδομÝνων του υπολογιστÞ, üπου η 1η συνδυαστικÞ πρÜξη εßναι XOR κι η 2η εßναι λογικÞ σýζευξη. Τα θεωρÞματα της αφηρημÝνης Üλγεβρας εßναι ισχυρÜ, επειδÞ εßναι γενικÜ: διÝπουνε πολλÜ συστÞματα. Θα μποροýσε να φανταστεß κανεßς üτι λßγα πρÜγματα μποροýμε να συμπερÜνουμε σχετικÜ με τα αντικεßμενα που ορßζονται με τüσες λßγες ιδιüτητες, αλλÜ ακριβþς εκεß βρßσκεται το δþρο της Νοýτερ: να ανακαλýψουμε üσα δυνατüν πιüτερα μποροýν να συναχθοýν απü Ýνα δεδομÝνο σýνολο ιδιοτÞτων, Þ αντιστρüφως, ο προσδιορισμüς του ελÜχιστου συνüλου, του οποßου οι στοιχειþδεις ιδιüτητες ευθýνονται για μια συγκεκριμÝνη παρατÞρηση. Σε αντßθεση με τους περισσüτερους μαθηματικοýς, δεν Ýβγαζε συμπερÜσματα απü τη γενßκευση γνωστþν παραδειγμÜτων: αντßθετα, εργÜστηκε Üμεσα με τις αφηρημÝνες Ýννοιες. ¼πως ο van der Waerden υπενθýμισε στη νεκρολογßα της:

  "Το αξßωμα με το οποßο η Νοýτερ πορεýθηκε σε ολüκληρο το Ýργο της θα μποροýσε να διατυπωθεß ως εξÞς: ΚÜθε σχÝση μεταξý των αριθμþν, των συναρτÞσεων και των πρÜξεων γßνεται φανερÞ, γενικÜ εφαρμüσιμη και πλÞρως παραγωγικÞ μüνον αφοý Ýχει απομονωθεß απü συγκεκριμÝνα αντικεßμενα κι Ýχει διαμορφωθεß ως καθολικÜ Ýγκυρη Ýννοια".

    ΑυτÜ εßναι τα καθαρÜ εννοιολογικÜ μαθηματικÜ (begriffliche Mathematik) που Þτανε χαρακτηριστικü της. Αυτü το ýφος των μαθηματικþν υιοθετÞθηκε κι απü Üλλους μαθηματικοýς και μετÜ το θÜνατü της, Üνθισε σε νÝες μορφÝς, üπως η θεωρßα κατηγοριþν.
    Οι ακÝραιοι αποτελοýν αντιμεταθετικü δακτýλιο του οποßου τα στοιχεßα εßναι οι ακÝραιοι αριθμοß, με συνδυασμÝνες πρÜξεις τη πρüσθεση και τον πολλαπλασιασμü. ΚÜθε ζεýγος ακεραßων μπορεß να προστεθεß Þ να πολλαπλασιÜζεται, δßνοντας πÜντα Ýναν Üλλο ακÝραιο κι η 1η πρÜξη, επιπλÝον, εßναι αντιμεταθετικÞ, δηλαδÞ, για τυχüν στοιχεßα a και b στον δακτýλιο, a + b = b + a. Η 2η πρÜξη, ο πολλαπλασιασμüς, εßναι επßσης αντιμεταθετικÞ, αλλÜ αυτü δεν εßναι απαραßτητο να ισχýει και για Üλλους δακτυλßους, πρÜγμα που σημαßνει üτι το a σε συνδυασμü με το b μπορεß να εßναι διαφορετικü απü το b σε συνδυασμü με το a . Παραδεßγματα μη αντιμεταθετικþν δακτυλßων αποτελοýν οι πßνακες και τα τετραδüνια. Οι ακÝραιοι δεν αποτελοýν Ýνα δακτýλιο με διαßρεση, διüτι η δεýτερη πρÜξη δεν μπορεß πÜντα να αντιστραφεß: Δεν υπÜρχει ακÝραιος a τÝτοιος þστε 3 × a = 1. ¸χουν επιπλÝον ιδιüτητες που δεν γενικεýονται σε üλους τους αντιμεταθετικοýς δακτυλßους. ¸να σημαντικü παρÜδειγμα εßναι το θεμελιþδες θεþρημα της αριθμητικÞς, που λÝει üτι κÜθε θετικüς ακÝραιος μπορεß να αναλυθεß μοναδικÜ σε 1ους αριθμοýς. ΜοναδικÝς αναλýσεις δεν υπÜρχουν πÜντοτε σε Üλλους δακτυλßους, αλλÜ η Νοýτερ βρÞκε Ýνα θεþρημα μοναδικÞς ανÜλυσης, που σÞμερα ονομÜζεται ΛÜσκερ-Νοýτερ, για τα ιδεþδη πολλþν δακτυλßων. ΜεγÜλο μÝρος του Ýργου της Ýγκειται στο καθορισμü του τι ιδιüτητες ισχýουνε για üλους τους δακτυλßους, στην επινüηση νÝων αναλüγων των παλαιþν θεωρημÜτων των ακεραßων και σε καθορισμü του ελαχßστου συνüλου των υποθÝσεων που απαιτοýνται για να δþσουν ορισμÝνες ιδιüτητες των δακτυλßων.
      ΜÝγα μÝρος του Ýργου της στη 1η εποχÞ της καριÝρας της συνδÝθηκε με τη θεωρßα αναλλοßωτων, κυρßως με την αλγεβρικÞ θεωρßα αναλλοßωτων. Η θεωρßα αυτÞ ασχολεßται με εκφρÜσεις που παραμÝνουνε σταθερÝς (αναλλοßωτες) στο πλαßσιο μιας ομÜδας μετασχηματισμþν. Ως Ýνα καθημερινü παρÜδειγμα, Üν Ýνα Üκαμπτο μÝτρο περιστρÝφεται, οι συντεταγμÝνες (x, y, z) των τελικþν σημεßων αλλÜζουν, αλλÜ το μÞκος του L που δßδεται απü τον τýπο L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 παραμÝνει το ßδιο. Η θεωρßα αναλλοßωτων Þταν Ýνας ενεργüς τομÝας Ýρευνας στα τÝλη του 19ου αι., οφεßλεται εν μÝρει στο πρüγραμμα του ¸ρλαγκεν του Felix Klein, που σýμφωνα μ' αυτü διαφορετικÜ εßδη γεωμετρßας πρÝπει να χαρακτηρßζονται απü τις αναλλοßωτÝς τους σýμφωνα με μετασχηματισμοýς, π.χ., η πολλαπλÞ αναλογßα της προβολικÞς γεωμετρßας. Το αρχετυπικü παρÜδειγμα αναλλοßωτων εßναι η διακρßνουσα B2-4AC μιας δυαδικÞς τετραγωνικÞς μορφÞς Ax2 + Bxy + Cy2. ΑυτÞ ονομÜζεται αναλλοßωτη επειδÞ εßναι αμετÜβλητη ως προς γραμμικοýς μετασχηματισμοýς xax + byycx + dy με την ορßζουσα ad-bc=1. Αυτοß οι μετασχηματισμοß αποτελοýνε την ειδικÞ γραμμικÞ ομÜδα SL2. (Δεν υπÜρχουν αναλλοßωτες στο πλαßσιο της γενικÞς γραμμικÞς ομÜδας üλων των αντιστρÝψιμων γραμμικþν μετασχηματισμþν, διüτι αυτοß οι μετασχηματισμοß μπορεß να εßναι πολλαπλασιασμοß με κλιμακωτü παρÜγοντα. Για να διορθωθεß αυτü, η κλασσικÞ θεωρßα αναλλοßωτων συμπεριÝλαβε επßσης τις σχετικÝς αναλλοßωτες, που αποτελοýν αναλλοßωτες ως και τον κλιμακωτü παρÜγοντα). ΚÜποιος μπορεß να ζητÞσει üλα τα πολυþνυμα σε A, B, και C που παραμÝνουν αναλλοßωτα απü τη δρÜση της SL2: αυτÝς ονομÜζονται οι αναλλοßωτες των δυαδικþν τετραγωνικþν μορφþν κι αποδεικνýεται πως εßναι τα πολυþνυμα στη διακρßνουσα. Γενικþτερα, μπορεß κανεßς να ζητÞσει τις αναλλοßωτες ομογενþν πολυωνýμων A0xry0 + ... + Arx0yr του υψηλþτερου βαθμοý, που θα 'ναι συγκεκριμÝνα πολυþνυμα με συντελεστÝς A0, ..., Ar, κι ακüμη γενικþτερα, μπορεß κανεßς να θÝσει την ανÜλογη ερþτηση για τα ομογενÞ πολυþνυμα με περισσüτερες απü 2 μεταβλητÝς.


Πßναξ 2 απü τη διατριβÞ της Nοýτερ σχετικÜ με την αμετÜβλητη θεωρßα. Αυτüς ο πßνακας συγκεντρþνει 202 απü τα 331 σταθερÝς των τριμερþν πολυκεντρικþν μορφþν. ΑυτÝς οι μορφÝς ταξινομοýνται σε δýο μεταβλητÝς x και u. Η οριζüντια κατεýθυνση του πßνακα παραθÝτει τις σταθερÝς σε αýξουσα ως προς x, ενþ η κατακüρυφη τα απαριθμεß σε αýξουσα ως προς u.

    ¸νας απü τους κýριους στüχους της θεωρßας αναλλοßωτων Þταν να λýσει το πρüβλημα πεπερασμÝνης βÜσης. Το ποσü Þ το προúüν δυο οποιωνδÞποτε αναλλοßωτων εßναι αναλλοßωτη και το πεπερασμÝνο πρüβλημα βÜση Ýθεσε το ερþτημα αν Þταν δυνατü να συμπεριλÜβει üλες τις αναλλοßωτες, ξεκινþντας με ολοκληρωμÝνο κατÜλογο των αναλλοßωτων, που ονομÜζονται γεννÞτριες και στη συνÝχεια, προσθÝτοντας Þ πολλαπλασιÜζοντας τις γεννÞτριες μαζß. Για παρÜδειγμα, η διακρßνουσα δßνει μια πεπερασμÝνη βÜση (με Ýνα στοιχεßο) για τις αναλλοßωτες της δυαδικÞς τετραγωνικÞς μορφÞς. Ο σýμβουλος της Νοýτερ, ο Paul Gordan, Þτανε γνωστüς ως βασιλιÜς της θεωρßας των αναλλοßωτων κι η κυρßαρχη συμβολÞ του στα μαθηματικÜ Þταν η λýση του προβλÞματος πεπερασμÝνης βÜσης, το 1870, για αναλλοßωτες ομογενþν πολυωνýμων με 2 μεταβλητÝς. Το απÝδειξε δßνοντας μια κατασκευαστικÞ μÝθοδο για την εýρεση üλων των αναλλοßωτων και των γεννητριþν τους, αλλÜ δεν Þτανε σε θÝση να πραγματοποιÞσει αυτÞ τη κατασκευαστικÞ προσÝγγιση για αναλλοßωτες με 3 Þ περισσüτερες μεταβλητÝς. Το 1890, ο David Hilbert απÝδειξε μια παρüμοια πρüταση για τις αναλλοßωτες ομογενþν πολυωνýμων με οποιοδÞποτε αριθμü μεταβλητþν. ΕπιπλÝον, η μÝθοδος του δοýλευε, üχι μüνο για την ειδικÞ γραμμικÞ ομÜδα, αλλÜ και για ορισμÝνες απü τις υποομÜδες της, üπως η ειδικÞ ορθογþνια ομÜδα. Η 1η απüδειξη του προκÜλεσε κÜποια διαμÜχη, επειδÞ δεν εßχε δþσει μÝθοδο για τη κατασκευÞ των γεννητριþν, αν και σε μεταγενÝστερο Ýργο Ýκανε τη μÝθοδο του κατασκευαστικÞ. Για τη διδακτορικÞ της διατριβÞ, η Νοýτερ επÝκτεινε την υπολογιστικÞ απüδειξη του Gordan σε ομογενÞ πολυþνυμα με 3 μεταβλητÝς. Η κατασκευαστικÞ προσÝγγισÞ της κατÝστησε δυνατÞ τη μελÝτη των σχÝσεων μεταξý των αναλλοßωτων. Αργüτερα, αφοý εßχε στραφεß σε πιο αφηρημÝνες μεθüδους, την ονüμασε Mist (χÜλια) και Formelngestrüpp (μια ζοýγκλα απü εξισþσεις).
    Η Θεωρßα ΓκαλουÜ ασχολεßται με μετασχηματισμοýς σωμÜτων αριθμþν που μεταθÝτουν τις ρßζες μßας εξßσωσης. ΘεωρÞστε μßα πολυωνυμικÞ εξßσωση μιας μεταβλητÞς x βαθμοý ν, της οποßας οι συντελεστÝς προÝρχονται απü κÜποιο σþμα βÜσης,το οποßο μπορεß να εßναι για παρÜδειγμα το σþμα των πραγματικþν αριθμþν, των ρητþν Þ των ακÝραιων modulo7. Μπορεß να υπÜρχουν τιμÝς του x τÝτοιες þστε να κÜνουν το πολυþνυμο να ισοýται με μηδÝν. ΤÝτοιες τιμÝς αν υπÜρχουν λÝγονται ρßζες. Αν Ýχουμε το πολυþνυμο x2 + 1 και βρισκüμαστε στο σþμα των πραγματικþν αριθμþν,τüτε το πολυþνυμο δεν Ýχει ρßζες γιατß για κÜθε τιμÞ του x το πολυþνυμο θα εßναι μεγαλýτερο Þ ßσο του 1. Αν ωστüσο το σþμα εßναι επεκτεταμÝνο, τüτε το πολυþνυμο ßσως να Ýχει ρßζες κι αν επεκταθεß αρκετÜ τüτε πÜντα θα Ýχει αριθμü ριζþν ßσο με τον βαθμü του. Συνεχßζοντας στο προηγοýμενο παρÜδειγμα, αν το σþμα που Ýχουμε εßναι των μιγαδικþν αριθμþν,τüτε το πολυþνυμο παßρνει δýο ρßζες, τις i και –i, üπου i η φανταστικÞ μονÜδα, δηλαδÞ i = -1. ΓενικÜ το σþμα επÝκτασης στο οποßο το πολυþνυμο αναλýεται στις ρßζες του λÝγεται σþμα ριζþν του πολυωνýμου.


       Η Νοýτερ δßδαξε στο Moscow State University το 1928–29.

      Η ΟμÜδα ΓκαλουÜ ενüς πολυωνýμου εßναι το σýνολο üλων των δυνατþν μετασχηματισμþν της ομÜδας ριζþν του, διατηρþντας παρÜλληλα το σþμα βÜσης και τις ρßζες του πολυωνýμου. (Στη μαθηματικÞ γλþσσα αυτοß οι μετασχηματισμοß ονομÜζονται αυτομορφισμοß). Η ομÜδα ΓκαλουÜ του x2 + 1 αποτελεßται απü δýο στοιχεßα: τον ταυτοτικü αυτομορφισμü ο οποßος στÝλνει κÜθε μιγαδικü αριθμü στον εαυτü του κι ο συζυγÞς αυτομορφισμüς που στÝλνει το i στο –i. ΔεδομÝνου üτι η ομÜδα ΓκαλουÜ δεν αλλÜζει το σþμα βÜσης, αφÞνει üλους του συντελεστÝς του πολυωνýμου σταθεροýς, οπüτε και το σýνολο των ριζþν του. ΚÜθε ρßζα μπορεß να σταλθεß σε κÜποια Üλλη Ýτσι þστε ο αυτομορφισμüς αυτüς να ορßζει μßα μετÜθεση των ν ριζþν μεταξý τους. Η σημασßα της ομÜδας ΓκαλουÜ προÝρχεται απü το Θεμελιþδες Θεþρημα της Θεωρßας ΓκαλουÜ το οποßο αποδεικνýει üτι τα σþματα που βρßσκονται μεταξý του σþματος βÜσης και του σþματος ριζþν βρßσκονται σε Ýνα προς Ýνα αντιστοιχßα με τις υποομÜδες ΓκαλουÜ.
    Το 1918 η Νοýτερ δημοσßευσε μια σημαντικÞ εργασßα πÜνω στο αντßστροφο πρüβλημα ΓκαλουÜ. Αντß να προσδιορßσει την ομÜδα ΓκαλουÜ των μετασχηματισμþν δοθÝντος σþματος και της επÝκτασÞς του, αναρωτÞθηκε Ýχοντας Ýνα σþμα και μßα ομÜδα,αν εßναι πÜντα εφικτü να βροýμε μßα επÝκταση του σþματος που να Ýχει τη συγκεκρßμενη ομÜδα ως τη ομÜδα ΓκαλουÜ του. Το ονüμασε πρüβλημα της Νοýτερ που αναρωτιÝται αν το σταθερü σþμα μιας υποομÜδας G της ομÜδας μεταθÝσων Sn που δρα στο σþμα k(x1, ... , xn) εßναι πÜντα μßα υπερβατικÞ επÝκταση του σþματος k.(ΑναφÝρθηκε 1η φορÜ σ' αυτü το πρüβλημα σε μια εργασßα του 1913, üπου απÝδωσε το πρüβλημα στο συνÜδελφü της Fischer). ¸δειξε üτι ισχýει για ν = 2, 3, Þ 4. Το 1969 ο R. G. Swan βρÞκε Ýν αντιπαρÜδειγμα στο πρüβλημα Νοýτερ, με ν = 47 και G μßα κυκλικÞ ομÜδα τÜξης 47 (αν κι αυτÞ η ομÜδα μπορεß να ορισθεß ως ομÜδα ΓκαλουÜ πÜνω απü τους ρητοýς με πολλοýς τρüπους). Το αντßστροφο πρüβλημα ΓκαλουÜ παραμÝνει Üλυτο.
    Ο David Hilbert κι ο Felix Klein φÝρανε τη Νοýτερ στο ΓκÝτιγκεν το 1915, ζητþντας την εμπειρογνωμοσýνη της σε θÝματα θεωρßας αναλλοßωτων για να τους βοηθÞσει στη κατανüηση της γενικÞς σχετικüτητας, μιας γεωμετρικÞς θεωρßας της βαρýτητας που αναπτýχθηκε κυρßως απü τον ¢λμπερτ ΑúνστÜιν. Ο Hilbert εßχε παρατηρÞσει üτι η διατÞρηση της ενÝργειας φαινüταν να παραβιÜζεται στη γενικÞ σχετικüτητα, το οποßο οφεßλεται στο γεγονüς üτι η βαρυντικÞ ενÝργεια μποροýσε να Ýλκεται. Η Νοýτερ παρÝδωσε την επßλυση αυτοý του παραδüξου, καθþς κι Ýνα θεμελιþδες εργαλεßο της σýγχρονης θεωρητικÞς φυσικÞς, με το πρþτο θεþρημα της Νοýτερ, το οποßο απÝδειξε το 1915, αλλÜ δεν το δημοσßευσε μÝχρι το 1918. ¸λυσε το πρüβλημα, üχι μüνο για τη γενικÞ σχετικüτητα, αλλÜ προσδιüρισε τις συντηρημÝνες ποσüτητες για κÜθε σýστημα φυσικþν νüμων που κατÝχει κÜποια συνεχÞ συμμετρßα. Αφοý παρÝλαβε το Ýργο της, ο ΑúνστÜιν Ýγραψε στον Hilbert:

   "Χθες Ýλαβα απü τη Δßδα Νοýτερ μια πολý ενδιαφÝρουσα εργασßα σχετικÜ με τις αναλλοßωτες. Με εντυπωσιÜζει το üτι τÝτοια πρÜγματα μποροýν να γßνουνε κατανοητÜ σ' Ýνα τÝτοιο γενικü τρüπο. Η παλιÜ φρουρÜ στο ΓκÝτινγκεν θα πρÝπει να λÜβει κÜποια μαθÞματα απü τη Δßδα Νοýτερ! Φαßνεται να γνωρßζει καλÜ το αντικεßμενο της".

    Για παρÜδειγμα, αν Ýνα φυσικü σýστημα συμπεριφÝρεται το ßδιο, ανεξÜρτητα απü το πüσο εßναι προσανατολισμÝνο στο χþρο, οι φυσικοß νüμοι που το διÝπουν εßναι συμμετρικοß εκ περιστροφÞς: Απü αυτÞ τη συμμετρßα, το θεþρημα Νοýτερ δεßχνει üτι η στροφορμÞ του συστÞματος πρÝπει να διατηρεßται. Το φυσικü σýστημα δεν χρειÜζεται να 'ναι συμμετρικü: ¸νας οδοντωτüς αστεροειδÞς πÝφτοντας στο διÜστημα διατηρεß στροφορμÞ, παρÜ την ασυμμετρßα του. Αντßθετα, η συμμετρßα των φυσικþν νüμων που διÝπουνε το σýστημα εßναι υπεýθυνη για τον νüμο διατÞρησης. Ως Üλλο παρÜδειγμα, αν Ýνα φυσικü πεßραμα Ýχει το ßδιο αποτÝλεσμα, σε οποιοδÞποτε μÝρος κι οποιαδÞποτε στιγμÞ, τüτε οι νüμοι του εßναι συμμετρικοß υπü συνεχεßς μεταβολÝς στο χþρο και το χρüνο: Απü το θεþρημα της Νοýτερ, αυτÝς οι συμμετρßες αντιπροσωπεýουνε τους νüμους διατÞρησης της γραμμικÞς ορμÞς κι ενÝργειας μες σ' αυτü το σýστημα, αντßστοιχα. Το θεþρημα Νοýτερ Ýχει γßνει θεμελιþδες εργαλεßο της σýγχρονης θεωρητικÞς φυσικÞς, τüσο λüγω της επßγνωσης που δßνει στους νüμους διατÞρησης, αλλÜ κι ως Ýνα πρακτικü εργαλεßο υπολογισμοý. Το θεþρημα της, επιτρÝπει στους ερευνητÝς να προσδιορßσουνε τις διατηρητÝες ποσüτητες απü τις παρατηροýμενες συμμετρßες ενüς φυσικοý συστÞματος. Αντιστρüφως, διευκολýνει τη περιγραφÞ ενüς φυσικοý συστÞματος που βασßζεται στις κατηγορßες των υποθετικþν φυσικþν νüμων. Για παρÜδειγμα, ας υποθÝσουμε üτι Ýνα νÝο φυσικü φαινüμενο Ýχει ανακαλυφθεß. Το θεþρημα Νοýτερ παρÝχει Ýναν Ýλεγχο για θεωρητικÜ μοντÝλα του φαινομÝνου: αν η θεωρßα Ýχει μια συνεχÞ συμμετρßα, τüτε το θεþρημα εγγυÜται πως η θεωρßα Ýχει μια διατηρητÝα ποσüτητα και για να 'ναι η θεωρßα σωστÞ, αυτÞ η διατÞρηση πρÝπει να εßναι παρατηρÞσιμη σε πειρÜματα.

      Αν και τα αποτελÝσματα της 1ης εποχÞς της Νοýτερ Þταν εντυπωσιακÜ και χρÞσιμα, η φÞμη της ως μαθηματικüς στηρßζεται πιüτερο στη πρωτοποριακÞ εργασßα που Ýκανε στη 2η και 3η εποχÞ της, üπως σημειþνεται απü τους Hermann Weyl και BL van der Waerden στις νεκρολογßες τους γι' αυτÞν. Σ' αυτÝς τις εποχÝς της, δεν εφÜρμοσε απλþς τις ιδÝες και τις μεθüδους των προηγοýμενων μαθηματικþν: αντßθετα, Ýγραφε νÝα συστÞματα μαθηματικþν ορισμþν που θα χρησιμοποιοýνταν απü τους μελλοντικοýς. Ειδικþτερα, ανÝπτυξε μιαν εντελþς νÝα θεωρßα των ιδεωδþν δακτυλßων, γενικεýοντας το προγενÝστερο Ýργο του Richard Dedekind. Εßναι επßσης γνωστÞ για το üτι ανÝπτυξε συνθÞκες αýξουσας αλυσßδας, μια απλÞ συνθÞκη πεπερασμÝνων που απÝδωσε ισχυρÜ αποτελÝσματα στα χÝρια της. ΑυτÝς οι συνθÞκες κι η θεωρßα των ιδεωδþν της επÝτρεψαν να γενικεýσει πολλÜ παλιüτερα αποτελÝσματα και να ασχοληθεß με τα παλιÜ προβλÞματα απü μια νÝα προοπτικÞ, üπως με τη θεωρßα απαλοιφÞς και τις αλγεβρικÝς πολλαπλüτητες που εßχαν μελετηθεß απü τον πατÝρα της.
    Σε αυτÞ την εποχÞ, Ýγινε διÜσημη για την επιδÝξια χρÞση των συνθηκþν αýξουσας (Teilerkettensatz) Þ φθßνουσας (Vielfachenkettensatz) αλυσßδας. Μια ακολουθßα μη κενþν υποσυνüλων A1, A2, A3, κλπ απü ενüς συνüλου S συχνÜ λÝγεται αýξουσα, αν το καθÝνα εßναι Ýνα υποσýνολο του επüμενου:



      ΑνÜλογα, μια ακολουθßα απü υποσýνολα S λÝγεται φθßνουσα εÜν το κÜθε υποσýνολο περιÝχει το επüμενο:



      Μια αλυσßδα γßνεται σταθερÞ μετÜ απü Ýναν πεπερασμÝνο αριθμü βημÜτων, αν υπÜρχει Ýνα ν τÝτοιο þστε Αν = Αμ για κÜθε m ≥ ν. Μια συλλογÞ απü υποσýνολα ενüς συνüλου ικανοποιεß τη συνθÞκη αýξουσας αλυσßδας αν κÜθε αýξουσα ακολουθßα γßνεται σταθερÞ μετÜ απü Ýνα πεπερασμÝνο αριθμü βημÜτων. Ικανοποιεß τη συνθÞκη φθßνουσας αλυσßδας αν κÜθε φθßνουσα ακολουθßα γßνεται σταθερÞ μετÜ απü Ýνα πεπερασμÝνο αριθμü βημÜτων. Οι συνθÞκες αýξουσας και φθßνουσας αλυσßδας εßναι γενικÝς, πρÜγμα που σημαßνει üτι μποροýν να εφαρμοστοýνε σε πολλοýς τýπους μαθηματικþν αντικειμÝνων κι επιφανειακÜ, μπορεß να μη φαßνονται πολý ισχυρÝς. Η Νοýτερ Ýδειξε το πþς να εκμεταλλεýονται αυτÝς τις συνθÞκες, üμως, με το μÝγιστο üφελος: για παρÜδειγμα, πþς να τις χρησιμοποιεßς για να δεßξεις üτι κÜθε σýνολο υπο-αντικειμÝνων Ýχει Ýνα μÝγιστο / ελÜχιστο στοιχεßο Þ üτι Ýνα σýνθετο αντικεßμενο μπορεß να παραχθεß απü Ýνα μικρüτερο αριθμü στοιχεßων. Τα συμπερÜσματα αυτÜ εßναι συχνÜ ζωτικÞς σημασßας βÞματα σε μια απüδειξη.
      ΠολλÜ εßδη αντικειμÝνων στην αφηρημÝνη Üλγεβρα μποροýν να ικανοποιÞσουν τις συνθÞκες της αλυσßδας κι αν ικανοποιοýν μια συνθÞκη αýξουσας αλυσßδας, συχνÜ καλοýνται ΝουτεριανÜ προς τιμÞ της. Εξ ορισμοý, Ýνας Νουτεριανüς δακτýλιος ικανοποιεß μια συνθÞκη αýξουσας αλυσßδας στα αριστερÜ και δεξιÜ ιδεþδη του, ενþ μια ΝουτεριανÞ ομÜδα ορßζεται ως μια ομÜδα στην οποßα κÜθε γνησßως αýξουσα αλυσßδα απü υποομÜδες εßναι πεπερασμÝνη. ¸να Νουτεριανü module εßναι Ýνα module στο οποßο κÜθε γνησßως αýξουσα αλυσßδα απü υπο-modules διακüπτει μετÜ απü Ýνα πεπερασμÝνο αριθμü. ¸νας Νουτεριανüς χþρος εßναι Ýνας τοπολογικüς χþρος στον οποßο κÜθε γνησßως αýξουσα αλυσßδα ανοικτþν υποχþρων διακüπτει μετÜ απü Ýνα πεπερασμÝνο αριθμü üρων: Ο ορισμüς αυτüς εßναι φτιαγμÝνος Ýτσι þστε το φÜσμα ενüς Νουτεριανοý δακτυλßου να εßναι Ýνας Νουτεριανüς τοπολογικüς χþρος.

      Η συνθÞκη της αλυσßδας συχνÜ "κληρονομεßται" απü τα υπο-αντικεßμενα. Για παρÜδειγμα, üλοι οι υποχþροι ενüς Νουτεριανοý χþρου, εßναι Νουτεριανοß κι οι ßδιοι -üλες οι υποομÜδες κι οι ομÜδες πηλßκο μιας ΝουτεριανÞς ομÜδας εßναι ,παρομοßως, Νουτεριανοß- και τηρουμÝνων των αναλογιþν, το ßδιο ισχýει και για υπο-modules και modules πηλßκο ενüς Νουτεριανοý module. ¼λοι οι δακτýλιοι πηλßκο ενüς Νουτεριανοý δακτυλßου εßναι Νουτεριανοß, αλλÜ αυτü δεν ισχýει απαραßτητα για τους υποδακτυλßους του. Η συνθÞκη αλυσßδας μπορεß επßσης να κληρονομηθεß απü συνδυασμοýς Þ επεκτÜσεις ενüς Νουτεριανοý αντικειμÝνου. Για παρÜδειγμα πεπερασμÝνα ευθεßα αθροßσματα Νουτεριανþν δακτυλßων εßναι ΝουτεριανÜ, üπως εßναι ο δακτýλιος της τυπικÞς δυναμοσειρÜς πÜνω σ' Ýνα Νουτεριανü δακτýλιο.
      Μια Üλλη εφαρμογÞ τÝτοιων συνθηκþν αλυσßδας εßναι στην επαγωγÞ σε Νουτεριανοýς -επßσης γνωστÞ ως βÜσιμη επαγωγÞ- που εßναι μια γενßκευση της μαθηματικÞς επαγωγÞς. ΣυχνÜ χρησιμοποιεßται για να περιορßσει γενικÝς προτÜσεις σχετικÜ με συλλογÝς αντικειμÝνων σε προτÜσεις σχετικÜ με συγκεκριμÝνα αντικεßμενα αυτÞς της συλλογÞς. Ας υποθÝσουμε üτι το S εßναι Ýνα μερικþς διατεταγμÝνο σýνολο. ¸νας τρüπος για να αποδειχθεß μια πρüταση σχετικÜ με τα αντικεßμενα του S εßναι να υποθÝσουμε την ýπαρξη ενüς αντιπαραδεßγματος και να αναχθοýμε σε μια αντßφαση, αποδεικνýοντας Ýτσι την Üρνηση της αρχικÞς πρüτασης. Η βασικÞ προûπüθεση της ΝουτεριανÞς επαγωγÞς εßναι üτι κÜθε μη κενü υποσýνολο του S περιÝχει Ýνα ελÜχιστο στοιχεßο. Ειδικþτερα, το σýνολο üλων των αντιπαραδειγμÜτων περιÝχει Ýνα ελÜχιστο στοιχεßο, το ελÜχιστο αντιπαρÜδειγμα. Για να αποδεßξει την αρχικÞ πρüταση, ως εκ τοýτου, αρκεß να αποδεßξει κÜτι φαινομενικÜ πολý ασθενÝστερο: Για κÜθε αντιπαρÜδειγμα, υπÜρχει Ýνα μικρüτερο αντιπαρÜδειγμα.
    Η εργασßα της Νοýτερ, Idealtheorie in Ringbereichen (Θεωρßα των ιδεωδþν σε τομεßς δακτυλßων, 1921), εßναι το θεμÝλιο της γενικÞς γενικÞς θεωρßας αντιμεταθετικþν δακτυλßων και δßνει Ýναν απü τους 1ους γενικοýς ορισμοýς ενüς αντιμεταθετικοý δακτυλßου. Πριν απü την εργασßα της, τα περισσüτερα αποτελÝσματα στην αντιμεταθετικÞ Üλγεβρα περιορßστηκαν σε ειδικÜ παραδεßγματα αντιμεταθετικþν δακτυλßων, üπως οι δακτýλιοι πολυωνýμων πÜνω απü σþματα Þ οι δακτýλιοι των αλγεβρικþν ακεραßων. Εκεßνη απÝδειξε üτι σε Ýνα δακτýλιο που ικανοποιεß τη συνθÞκη αýξουσας αλυσßδας σε ιδεþδη, κÜθε ιδεþδες εßναι πεπερασμÝνα παραγüμενο. Το 1943, ο ΓÜλλος μαθηματικüς Claude Chevalley επινüησε τον üρο, Νουτεριανüς δακτýλιος, για να περιγρÜψει αυτÞ την ιδιüτητα. ¸να σημαντικü αποτÝλεσμα της εργασßας της το 1921 εßναι το θεþρημα ΛÜσκερ-Νοýτερ, το οποßο εκτεßνει το θεþρημα του ΛÜσκερ για πρωτογενÞ διÜσπαση των ιδεωδþν των δακτυλßων πολυωνýμων σε üλους τους Νουτεριανοýς δακτυλßους. Το θεþρημα ΛÜσκερ-Νοýτερ μπορεß να θεωρηθεß ως μια γενßκευση του θεμελιþδους θεωρÞματος της αριθμητικÞς το οποßο αναφÝρει üτι κÜθε θετικüς ακÝραιος μπορεß να εκφραστεß ως προúüν πρþτων αριθμþν κι üτι αυτÞ η διÜσπαση εßναι μοναδικÞ.



     Το Ýργο της Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenkörpern (ΑφηρημÝνη ΔομÞ της Θεωρßας των Ιδεωδþν στους Αλγεβρικοýς Αριθμοýς και Σþματα ΣυναρτÞσεων, 1927), που χαρακτηρßζεται απü τους δακτυλßους στους οποßους τα ιδεþδη Ýχουν μοναδικÞ παραγοντοποßηση σε κýρια ιδεþδη, üπως τα πεδßα Dedekind: αναπüσπαστα πεδßα που εßναι ΝουτεριανÜ, διαστÜσεων 0 Þ 1, κι αναπüσπαστα κλειστÜ στα σþματα πηλßκο τους. ΑυτÞ η εργασßα περιÝχει επßσης αυτÜ που τþρα λÝγονται τα θεωρÞματα ισομορφισμþν, τα οποßα περιγρÜφουν ορισμÝνους θεμελιþδεις φυσικοýς ισομορφισμοýς και κÜποια Üλλα βασικÜ αποτελÝσματα για modules της Νοýτερ και του Αρτßν. Το 1923-24 εφÜρμοσε τη θεωρßα ιδεωδþν της στη θεωρßα απαλοιφÞς -σε Ýνα σκεýασμα που απÝδωσε στον μαθητÞ της, Kurt Hentzelt- δεßχνοντας üτι τα θεμελιþδη θεωρÞματα για τη παραγοντοποßηση πολυωνýμων θα μποροýσαν να μεταφερθοýν Üμεσα. ΠαραδοσιακÜ, η θεωρßα απαλοιφÞς ασχολεßται με την απαλοιφÞ ενüς Þ περισσüτερων μεταβλητþν απü Ýνα σýστημα πολυωνυμικþν εξισþσεων, συνÞθως με τη μÝθοδο των συνισταμÝνων. Για παρÜδειγμα, το σýστημα των εξισþσεων συχνÜ μπορεß να γραφτεß με τη μορφÞ ενüς πßνακα M (που δεν περιÝχει τη μεταβλητÞ x) επß Ýνα διÜνυσμα v (Ýχουν μüνο διαφορετικÝς δυνÜμεις των x) με αποτÝλεσμα το μηδενικü διÜνυσμα, M.v = 0. Ως εκ τοýτου, η ορßζουσα του πßνακα Μ πρÝπει να εßναι μηδÝν, παρÝχοντας μια νÝα εξßσωση στην οποßα η μεταβλητÞ Χ Ýχει απαλειφθεß.
      ΤεχνικÝς üπως η αρχικÞ μη κατασκευαστικÞ λýση του Hilbert στο πρüβλημα πεπερασμÝνης βÜσης δεν θα μποροýσαν να χρησιμοποιηθοýν για να πÜρουμε ποσοτικÝς πληροφορßες σχετικÜ με τις αναλλοßωτες της δρÜσης ομÜδας κι επιπλÝον, δεν ßσχυαν για üλες τις δρÜσης ομÜδας. Στην εργασßα της, το 1915, η Νοýτερ βρÞκε λýση στο πρüβλημα της πεπερασμÝνης βÜσης για μια πεπερασμÝνη ομÜδα μετασχηματισμþν G η οποßα δρα σ' Ýνα πεπερασμÝνης διÜστασης διανυσματικü χþρο πÜνω απü Ýνα σþμα χαρακτηριστικÞς μηδÝν. Η λýση της δεßχνει üτι ο δακτýλιος των αναλλοßωτων παρÜγεται απü ομοιογενεßς αναλλοßωτες των οποßων ο βαθμüς εßναι μικρüτερος Þ ßσος με τη τÜξη της πεπερασμÝνης ομÜδας. Αυτü ονομÜζεται, δÝσμευση της Νοýτερ. Η εργασßα της Ýδωσε 2 αποδεßξεις της δÝσμευσης Νοýτερ, αμφüτερες απü τις οποßες λειτουργοýν üταν η χαρακτηριστικÞ του σþματος εßναι σχετικÜ πρþτη με το |G|, το παραγοντικü της τÜξης |G| της ομÜδας G. Ο αριθμüς των γεννητριþν δεν εßναι απαραßτητο να ικανοποιεß τη δÝσμευση της Νοýτερ üταν η χαρακτηριστικÞ του σþματος διαιρεß το |G| αλλÜ η Νοýτερ δεν Þταν σε θÝση να καθορßσει αν η δÝσμευση Þτανε σωστÞ, üταν η χαρακτηριστικÞ του σþματος διαιρεß το |G| αλλÜ üχι τη |G| . Για πολλÜ χρüνια, ο προσδιορισμüς της αλÞθειας Þ του ψεýδους της δÝσμευσης σε αυτÞ τη περßπτωση Þταν Ýνα ανοικτü πρüβλημα που ονομÜστηκε το χÜσμα της Νοýτερ. ΤελικÜ επιλýθηκε ξεχωριστÜ απü τον Fleischmann το 2000 και τον Fogarty το 2001, που κι οι 2 Ýδειξαν üτι η δÝσμευση εξακολουθεß να ισχýει.
     Στην εργασßα της το 1926, επÝκτεινε το θεþρημα του Hilbert σε αναπαραστÜσεις μιας πεπερασμÝνης ομÜδας πÜνω απü κÜθε σþμα, η νÝα περßπτωση που δεν προκýπτει απü το Ýργο του Hilbert, εßναι üταν η χαρακτηριστικÞ του σþματος διαιρεß τη τÜξη της ομÜδας. Το αποτÝλεσμÜ της επεκτÜθηκε αργüτερα απü τον William Haboush σε üλες τις αναγωγικÝς ομÜδες με την απüδειξη του για την εικασßα Mumford. Σε αυτÞ την εργασßα της εισÞγαγε επßσης το λÞμμα κανονικοποßησης της Νοýτερ, αποδεικνýοντας üτι μια πεπερασμÝνα παραγüμενη περιοχÞ A πÜνω απü Ýνα σþμα k Ýχει Ýνα σýνολο x1, ... , xn απü αλγεβρικÜ ανεξÜρτητα στοιχεßα, üπως κι üτι η A εßναι ακÝραια περιοχÞ πÜνω απü το k[x1, ... , xn].

    ¼πως σημεßωσαν οι Pavel Alexandrov και Hermann Weyl στις νεκρολογßες τους, οι συνεισφορÝς της στη τοπολογßα δεßχνουνε τη γενναιοδωρßα της με ιδÝες και πως οι ιδÝες της μποροýσαν να μεταμορφþσουν ολüκληρους τομεßς των μαθηματικþν. Στη τοπολογßα, οι μαθηματικοß μελετοýν τις ιδιüτητες των αντικειμÝνων που παραμÝνουν αναλλοßωτα ακüμη και μετÜ απü παραμüρφωση, ιδιüτητες üπως τη μεταξý τους σýνδεση. ¸να γνωστü αστεßο εßναι üτι Ýνας τοπολüγος δεν μπορεß να διακρßνει Ýνα ντüνατ απü μια κοýπα καφÝ, δεδομÝνου üτι μποροýν να παραμορφþνονται συνεχþς το Ýνα στο Üλλο.
ΣυνεχÞς παραμüρφωση (homotopy) φλυτζανιοý
       σε ντüνατ (τüρος) κι αντßστροφα

      Η Νοýτερ πιστþνεται με τις θεμελιþδεις ιδÝες που οδηγÞσανε στην ανÜπτυξη της ΑλγεβρικÞς Τοπολογßας απü τη προηγοýμενη συνδυαστικÞ τοπολογßα, συγκεκριμÝνα, με την ιδÝα των ομÜδων ομολογßας. Σýμφωνα με τον απολογισμü του Alexandrov, η ΝÝτερ παρακολουθοýσε διαλÝξεις του Heinz Hopf και του ιδßου τα καλοκαßρια του 1926 και του 1927, üπου κι "Ýκανε συνεχþς παρατηρÞσεις, οι οποßες συχνÜ Þταν βαθιÝς και λεπτÝς" και συνεχßζει üτι,

   "¼ταν 1η φορÜ Þρθε σ' επαφÞ με μια συστηματικÞ κατασκευÞ της συνδυαστικÞς τοπολογßας, αμÝσως παρατÞρησε üτι θα Üξιζε τον κüπο να μελετÞσει Üμεσα τις ομÜδες αλγεβρικþν συμπλüκων και κýκλων ενüς δεδομÝνου πολυÝδρου και την υποομÜδα της κυκλικÞς ομÜδας που αποτελεßται απü κýκλους ομüλογους με το μηδÝν, αντß του συνηθισμÝνου ορισμοý των αριθμþν Betti, πρüτεινε αμÝσως τον ορισμü της ομÜδας Betti ως τη συμπληρωματικÞ (πηλßκο) ομÜδα της ομÜδας üλων των κýκλων στην υποομÜδα των κýκλων ομüλογη με μηδÝν. Η παρατÞρηση αυτÞ φαßνεται πλÝον αυτονüητη. ¼μως εκεßνα τα χρüνια (1925-1928) Þταν μια εντελþς νÝα Üποψη".

    Η πρüταση της πως η τοπολογßα πρÝπει να μελετηθεß αλγεβρικÜ, υιοθετÞθηκε αμÝσως απü τους Hopf, Alexandrov, κι Üλλους κι Ýγινε Ýνα συχνü θÝμα συζÞτησης ανÜμεσα στους μαθηματικοýς του ΓκÝτινγκεν. Η Νοýτερ παρατÞρησε üτι η ιδÝα της για μια ομÜδα Betti κÜνει τον τýπο των Euler-Poincaré πιο απλü να κατανοηθεß και το Ýργο του Hopf για το θÝμα αυτü "φÝρει το αποτýπωμα αυτþν των παρατηρÞσεων της ¸μι Νοýτερ". Η Νοýτερ αναφÝρει τις ιδÝες της για τη τοπολογßα μüνον ως Ýνα μÝρος σε μια δημοσßευση του 1926, üπου τις παραθÝτει ως εφαρμογÞ της θεωρßας ομÜδων. Η αλγεβρικÞ προσÝγγιση στη τοπολογßα αναπτýχθηκε ανεξÜρτητα στην Αυστρßα. Σε μια σειρÜ μαθημÜτων το 1926-1927 στη ΒιÝννη, ο Leopold Vietoris üρισε μια ομÜδα ομολογßας, η οποßα αναπτýχθηκε απü τον Walther Mayer, σε Ýναν αξιωματικü ορισμü το 1928.
    ΜεγÜλο μÝρος της Ýρευνας πÜνω στους υπερμιγαδικοýς αριθμοýς και στην ομÜδα αναπαραστÜσεων διεξÞχθη τον 19ο και στις αρχÝς του 20οý αι., αλλÜ παρÝμεινε ασýνδετη. Η Νοýτερ Ýνωσε τα αποτελÝσματα και παρÝδωσε τη 1η γενικÞ θεωρßα αναπαρÜστασης των ομÜδων και των αλγεβρþν. Εν συντομßα, ενÝταξε τη θεωρßα των δομþν των συνδυαστικþν αλγεβρþν και την θεωρßα αναπαρÜστασης των ομÜδων σε μια ενιαßα αριθμητικÞ θεωρßα των modules και των ιδεωδþν σε δακτυλßους που πληροýνε τις συνθÞκες αýξουσας αλυσßδας . Αυτü το ενιαßο Ýργο της Þταν θεμελιþδους σημασßας για την ανÜπτυξη της σýγχρονης Üλγεβρας.


                                Η Νοýτερ με... εκλεκτÞ παρÝα 1932

    ¹ταν επßσης υπεýθυνη για μια σειρÜ Üλλων εξελßξεων στον τομÝα της Üλγεβρας. Μαζß με τους Emil Artin, Richard Brauer και Helmut Hasse, δημιοýργησε τη θεωρßα των κεντρικþν απλþν αλγεβρþν. Μια πρωτοποριακÞ εργασßα απü την Νοýτερ, τον Helmut Hasse και τον Richard Brauer αναφÝρεται σε Üλγεβρες με διαßρεση, που εßναι αλγεβρικÜ συστÞματα στα οποßα η διαßρεση εßναι δυνατÞ. ΑπÝδειξαν 2 σημαντικÜ θεωρÞματα: Ýνα τοπικü-παγκüσμιο θεþρημα που δηλþνει üτι αν μια πεπερασμÝνων διαστÜσεων κεντρικÞ Üλγεβρα με διαßρεση πÜνω απü Ýνα σþμα αριθμþν διασπÜται τοπικÜ παντοý, τüτε διασπÜται σε παγκüσμιο επßπεδο (οπüτε εßναι ασÞμαντο) κι απü αυτü, συνÜγεται το Hauptsatz τους («κýριο θεþρημα»): κÜθε πεπερασμÝνων διαστÜσεων κεντρικÞ Üλγεβρα με διαßρεση πÜνω απü Ýνα αλγεβρικü σþμα αριθμþν F διασπÜται πÜνω σε μια κυκλικÞ κυκλοτομικÞ επÝκταση. ΑυτÜ τα θεωρÞματα επιτρÝπουνε τη ταξινüμηση üλων των πεπερασμÝνων διαστÜσεων κεντρικþν αλγεβρþν με διαßρεση πÜνω απü Ýνα συγκεκριμÝνο σþμα αριθμþν. Μια επüμενη εργασßα της Ýδειξε, ως ειδικÞ περßπτωση ενüς γενικþτερου θεωρÞματος, üτι üλα τα μÝγιστα υποσþματα Üλγεβρας με διαßρεση D εßναι σþματα διÜσπασης. ΑυτÞ η εργασßα περιÝχει επßσης το θεþρημα Skolem-Νοýτερ το οποßο ορßζει üτι οποιεσδÞποτε 2 ενσωματþσεις μιας επÝκτασης του σþματος k σε μια πεπερασμÝνης διÜστασης κεντρικÞ απλÞ Üλγεβρα πÜνω απü το k, αποτελοýνε σýζευξη. Το θεþρημα Brauer-Νοýτερ δßνει Ýνα χαρακτηριστικü των σωμÜτων διÜσπασης μιας κεντρικÞς Üλγεβρας με διαßρεση πÜνω απü Ýνα σþμα.


        Το Emmy Noether Campus στο ΠανεπιστÞμιο Siegen
         στεγÜζει σÞμερα τα τμÞματα μαθηματικþν & φυικÞς

    Το Ýργο της συνεχßζει να εßναι σημαντικü για την ανÜπτυξη της θεωρητικÞς φυσικÞς και των μαθηματικþν κι αυτÞ σταθερÜ συμπεριλαμβÜνεται στους μεγαλýτερους μαθηματικοýς του 20ου αι. Στη νεκρολογßα του, ο συνÜδελφος αλγεβριστÞς BL van der Waerden αναφÝρει üτι οι μαθηματικÞ πρωτοτυπßα της Þταν απüλυτη πÝρα απü κÜθε σýγκριση, κι ο Hermann Weyl εßπε üτι Üλλαξε το πρüσωπο της Üλγεβρας με το Ýργο της. Στη διÜρκεια της ζωÞς της, ακüμη μÝχρι και σÞμερα, Ýχει χαρακτηριστεß ως η σπουδαιüτερη γυναßκα μαθηματικüς στη καταγραμμÝνη ιστορßα απü μαθηματικοýς, üπως οι Pavel Alexandrov, Hermann Weyl και Jean Dieudonné. Σε επιστολÞ του προς τους New York Times, ο ¢λμπερτ ΑúνστÜιν Ýγραψε:

   "Αν θÝλουμε να κρßνουμε τους πιο ικανοýς μαθηματικοýς εν ζωÞ, η Fräulein Νοýτερ Þταν η πιο σημαντικÞ δημιουργικÞ μαθηματικÞ ιδιοφυÀα που Ýχει εμφανιστεß μÝχρι στιγμÞς απü τη στιγμÞ που ξεκßνησε η 3βÜθμια εκπαßδευση των γυναικþν. Στον τομÝα της Üλγεβρας, στην οποßα οι πιο ταλαντοýχοι μαθηματικοß απασχολοýνται για αιþνες, ανακÜλυψε μεθüδους που Ýχουν αποδειχθεß τερÜστιας σημασßας για την ανÜπτυξη της σημερινÞς νεþτερης γενιÜς των μαθηματικþν".
     
    Στις 2 ΓενÜρη 1935, λßγους μÞνες πριν τον θÜνατο της, ο μαθηματικüς Norbert Wiener Ýγραψε τα εξÞς:

   "Η δις Νοýτερ εßναι η σπουδαιüτερη γυναßκα μαθηματικüς που Ýχει εμφανιστεß ποτÝ κι επßσης η σπουδαιüτερη γυναßκα επιστÞμονας εν ζωÞ σε οποιουδÞποτε εßδος και μελετÞτρια τουλÜχιστον στο επßπεδο της ΜαντÜμ Κιουρß".

    Στη ΔιεθνÞ ¸κθεση του 1964 που αφιερþνεται στους Σýγχρονους Μαθηματικοýς, η Νοýτερ Þταν η μüνη γυναßκα μεταξý των αξιοσημεßωτων μαθηματικþν του σýγχρονου κüσμου. Η Νοýτερ επßσης Ýχει τιμηθεß με διÜφορα βραβεßα:


* Ο Σýλλογος για τις Γυναßκες στα ΜαθηματικÜ απονÝμει μια ΔιÜλεξη της Νοýτερ για να τιμÞσει τις γυναßκες στα μαθηματικÜ κÜθε χρüνο, το 2005, στο φυλλÜδιο για το γεγονüς, ο Σýλλογος τη χαρακτηρßζει ως "μια απü τους μεγÜλους μαθηματικοýς της εποχÞς της, κÜποια που δοýλεψε και αγωνßστηκε για αυτü που αγαποýσε και πßστευε. Η ζωÞ και το Ýργο της παραμÝνουν μια τερÜστια πηγÞ Ýμπνευσης".

 * ΣυνεπÝς με την αφοσßωσÞ της στους μαθητÝς της, το ΠανεπιστÞμιο του Siegen στεγÜζει το τμÞμα μαθηματικþν και φυσικÞς του σε κτßρια στη πανεπιστημιοýπολη ¸μι Νοýτερ.

 * Το Γερμανικü ºδρυμα ¸ρευνας (Deutsche Forschungsgemeinschaft) λειτουργεß το πρüγραμμα ¸μι Νοýτερ, μια υποτροφßα που παρÝχει χρηματοδüτηση για τους πολλÜ υποσχüμενους νεαροýς μεταδιδακτορικοýς επιστÞμονες στην περαιτÝρω Ýρευνα τους και στις εκπαιδευτικÝς δραστηριüτητες τους.

 * Μια οδüς στη γενÝτεια πüλη της, το ¸ρλαγκεν, Ýχει πÜρει το üνομα της και του πατÝρα της, Μαξ Νοýτερ.


 * Το σχολεßο που διαδÝχτηκε το γυμνÜσιο της στο ¸ρλαγκεν, μετονομÜστηκε σε σχολεßο της ¸μι Νοýτερ.


 * O χαρακτÞρας Emmy Nutter (¸μι ΤρελÞ), η καθηγÞτρια φυσικÞς στο μυθιστüρημα The God Patent του Ransom Stephens, βασßζεται σ' αυτÞν.

 * Ο κρατÞρας Nöther της αθÝατης πλευρÜς της ΣελÞνης πÞρε το üνομα της.


 * Ο αστεροειδÞς 7001 Νοýτερ επßσης ονομÜστηκε Ýτσι απü αυτÞν.




__________________________

 

 

Web Design: Granma - Web Hosting: Greek Servers