-

Dali &

-


-








.

--.


.

./.

 
 

 

5: ...

     Η μμυ Νοτερ (Amalie 'Emmy' Noether/ 23 Μρτη 1882 - 14 Απρλη 1935), τανε πολ σημαντικ Γερμανοεβραα φυσικομαθηματικς και συγγραφας, γνωστ για τη μελτη της στην αφηρημνη λγεβρα και τη θεωρητικ φυσικ. Αναφρεται απ τους Πβελ Αλεξανδρφ, λμπερτ Ανστιν, Jean Dieudonné, Hermann Weyl, Νρμπερτ Βνερ κι λλους ως η πιο σημαντικ γυνακα στην ιστορα των μαθηματικν που επφερε ριζικς αλλαγς στις θεωρες των δακτυλων, των σωμτων και των αλγεβρικν δομν. Στη φυσικ, το θερημ της εξηγε τη θεμελιδη σχση μεταξ συμμετρας και των νμων διατρησης.



    Η μι Νοτερ γεννθηκε στο ρλανγκεν στις 23 Μρτη 1882 ντας 1ο απ 4 παιδι. Το 1ο της νομα ταν Αμαλα, απ τ' νομα της μητρας της και της γιαγις της (εκ του πατρς), αλλ σε νεαρ ηλικα ρχισε να χρησιμοποιε το μεσαο νομ της. Ως κορτσι, ταν ιδιατερα συμπαθς. Δεν ξεχριζε για τις ακαδημακς της γνσεις, αλλ για την εξυπνδα και τη φιλικτητα της. Εχε προβλματα ρασης και τραυλισμο κατ τη παιδικ ηλικα. νας οικογενειακς φλος διηγθηκε χρνια αργτερα μια ιστορα απ τα χρνια που η μι ταν να, που επλυσε γργορα μια σπαζοκεφαλι σε παιδικ πρτι, δεχνοντας το λογικ της δαιμνιο σε τσο μικρ ηλικα. ταν μαθημνη να μαγειρεει και να καθαρζει, πως και τα περισστερα κορτσια της εποχς κι επσης παρακολουθοσε μαθματα πινου. Δεν ακολοθησε καμα απ αυτς τις δραστηριτητες με πθος, αν και λτρευε να χορεει.
    Ο πατρας της Μαξ Νοτερ, καταγταν απ οικογνεια εμπρων στη Γερμανα. Εχεν υποστε παρλυση απ πολιομυελτιδα ταν ταν 14. Ανκτησε και πλι την κινητικτητα του, αλλ το να πδι δεν επανλθε πλρως. Σε μεγλο βαθμ αυτοδδακτος του εχεν απονεμηθε διδακτορικ δπλωμα απ το Πανεπιστμιο της Χαδελβργης το 1868. Μετ απ τη διδασκαλα εκε για 7 τη, πρε μια θση στη βαυαρικ πλη του ρλαγκεν, που γνρισε και παντρετηκε την ντα Αμαλα Κουφμαν, κρη ενς επορου εμπρου και μαζ αποκτσανε 3 παιδι, μεταξυ των οποων και την μμυ. Η συνεισφορ του Νοτερ στα μαθηματικ τανε κυρως στην αλγεβρικ γεωμετρα, ακολουθντας τα βματα του Alfred Clebsch. Η πιο γνωστ του δουλει εναι το θερημα Brill-Νoether και το υπλοιπο, το θερημα AF + BG, εν υπρχουνε διφορα λλα θεωρματα που συνδονται με αυτ, πως το θερημα του Μαξ Νοτερ.


                                    Η οικογνεια Νοτερ

    Εχε τρα μικρτερα αδρφια. Ο μεγαλτερος, ο λφρεντ, γεννθηκε το 1883, το 1909 του απονεμθηκε απ το ρλαγκεν διδακτορικ στη χημεα, αλλ πθανε 9 τη μετ. Ο Φριτζ, που γεννθηκε το 1884, χει μενει στην ιστορα για τα ακαδημακ επιτεγματ του: μετ απ σπουδς στο Μναχο απκτησε φμη στα εφαρμοσμνα μαθηματικ. Ο νετερος, Γκοσταβ Ρμπερτ, γεννθηκε το 1889. Πολ λγα πργματα εναι γνωστ για τη ζω του, πως το τι πασχε απ χρνια ασθνεια και πθανε το 1928.
    Απκτησε απ νωρς επρκεια σε Γαλλικ κι Αγγλικ.Την νοιξη του 1900 συμμετεχε στις εξετσεις για καθηγητς αυτν των γλωσσν κι λαβε πολ καλ συνολικ βαθμολογα. Η απδοσ της της δινε τη δυναττητα να διδξει τις γλσσες αυτς σε σχολεα που προορζονταν για κορτσια, ωστσο επλεξε να συνεχσει τις σπουδς της στα μαθηματικ, στο Πανεπιστμιο του ρλαγκεν, που δδασκεν ο πατρας της. Αυτ ταν αντισυμβατικ απφαση, διτι 2 τη νωρτερα η Ακαδημακ Σγκλητος του πανεπιστημου εχε δηλσει, τι το να επιτραπε η εκπαδευση και στα δο φλα θα αντρεπε λη την ακαδημακ τξη.
     Ως μα απ τις 2 μλις γυνακες που φοιτοσανε σε πανεπιστμιο 986 ατμων, επιτρεπταν να παρακολουθε μνο τα μαθματα κι χι να συμμετχει πως κι οι υπλοιποι φοιτητς κι επιπλον πρεπε να ζητσει την δεια του κθε καθηγητ χωριστ στου οποου τις διαλξεις επιθυμοσε να παρευρσκεται. Παρλα τα εμπδια, στις 14 Ιουνου 1903 κατφερε να περσει τις εξετσεις αποφοτησης του Realgymnasium στη Νυρεμβργη. Στη διρκεια του χειμερινο εξαμνου το 1903-1904, σποδασε στο Πανεπιστμιο του Γκντινγκεν, παρακολουθντας διαλξεις του αστρονμου Καρλ Σβρτσιλντ και των μαθηματικν Hermann Minkowski, Otto Blumenthal, Felix Klein, και David Hilbert. Λγο αργτερα οι περιορισμο σχετικ με τη συμμετοχ των γυναικν στο πανεπιστμιο αυτ ακυρθηκαν.



    Η Νοτερ επστρεψε στο Erlangen. Εκε επσημα ξαναμπκε στο πανεπιστμιο στις 24 Οκτβρη 1904 κι ανακονωσε την απφασ της να επικεντρωθε αποκλειστικ στα μαθηματικ. Υπ την επβλεψη του Paul Gordan γραψε την διατριβ της Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form (Σε πλρη συστματα αμετβλητων για τριαδικς τεταρτοβθμιες μορφς, 1907). Αν κι εχε καλν αποδοχ, αργτερα περιγραψε τη διατριβ της ως αποτυχα. Μετ την ολοκλρωση της διατριβς της, εργστηκε στο Ινστιτοτο Μαθηματικν του ρλαγκεν νευ αποδοχν για 7 τη (εκενο τον καιρ ταν πολ ασυνθιστο οι γυνακες να κατχουν ακαδημακς θσεις). Μερικς φορς αντικαθιστντας τον πατρα της ταν τανε πολ ρρωστος για να διδξει. Το 1910 και το 1911 δημοσευσε μια επκταση της διπλωματικς εργασας της απ 3 σε ν μεταβλητς.
    Σμφωνα με τον Hermann Weyl, ο Fischer εχε σημαντικν επιρρο στη Νοτερ, ιδως με την εισαγωγ της στο ργο του David Hilbert. Το 1913-1916 δημοσιεει πολλ ρθρα επεκτενοντς την κι εφαρμζοντας τις μεθδους του Hilbert για τα μαθηματικ αντικεμενα, πως πεδα των πραγματικν συναρτσεων κι αμετβλητες των πεπερασμνων συνλων. Αυτ η φση σηματοδοτε την ναρξη της εμπλοκς της με την αφηρημνη λγεβρα, το πεδο των μαθηματικν στο οποο θα συνεισφερε πρωτοποριακ Το 1915, προσκλθηκε απ τον Ντβιντ Χλμπερτ και τον Felix Klein για να ενταχθε στο τμμα μαθηματικν στο Πανεπιστμιο του Γκτινγκεν, ενς παγκοσμου φμης κντρου της μαθηματικς ρευνας. μως η φιλοσοφικ σχολ φερε αντιρρσεις. Η προσπθει τους να τη προσλβουν, εχεν αποκλειστε απ τους φιλολγους κι ιστορικος της φιλοσοφικς σχολς: επμεναν πως οι γυνακες, δε θα 'πρεπε να γνουνε λκτορες. να μλος της σχολς διαμαρτυρθηκε λγοντας "Τι θα σκεφτον οι στρατιτες μας ταν επιστρψουν στο πανεπιστμιο και δουν τι εναι υποχρεωμνοι να μθουν υπ την διδασκαλα μιας γυνακας"; Ο Hilbert απντησε με αγανκτηση, δηλνοντας, "δεν βλπω τι το φλο της υποψηφου αποτελε επιχερημα κατ της εισδοχς της ως privatdozent. Εξλλου, εμαστε να πανεπιστμιο, χι να μπνιο", κι τσι αυτ πρασε 4 τη διδσκοντας υπ το νομα του Χλμπερτ. Η εξουσιοδτηση της εγκρθηκε το 1919, επιτρποντς της να αποκτσει το βαθμ του Privatdozent (λκτορα).


                    χρησιμοποioσε καρτ-ποστλ με αφηρημνη λγεβρα
               με συνδελφ της Ernst Fischer. σφραγ. ταχ. 10 Απρλη 1915.

     Η Νοτερ φυγε για το Γκτινγκεν τλη Απρλη. 2 βδομδες μετ, η μητρα της πθανε ξαφνικ στο Erlangen. Εχε προηγουμνως λβει ιατρικ φροντδα για μια πθηση των ματιν, αλλ το εδος της θεραπεας κι η επδραση στο θνατ της τελικ εναι γνωστη. Περπου την δια περοδο ο πατρας της αποσρθηκε κι ο αδελφς της εντχθηκε στο γερμανικ στρατ για να υπηρετσει στον Α' Παγκ. Πλ.. Επστρεψε στο Erlangen για αρκετς εβδομδες, κυρως για να φροντσει τον ηλικιωμνο πατρα της. Στα 1α χρνια της διδασκαλας της στο Γκτινγκεν δεν εχε επσημη θση και δεν πληρωνταν. Η οικογνει της πλρωνε για τη διαμον της εκε κι υποστριζε το ακαδημακ ργο της. Οι διαλξεις της συχν διαφημιζνταν υπ το νομα του Hilbert κι εκενη παρεχε... "βοθεια".
    Λγο μετ την φιξ της στο Γκτινγκεν, ωστσο, απδειξε κι επδειξε τις δυναττητς της αποδεικνοντας να θερημα που εναι τρα γνωστ ως θερημα Νοτερ, το οποο δεχνει τι νας νμος διατρησης συνδεται με οποιαδποτε διαφορσιμη συμμετρα ενς φυσικο συστματος. Οι Αμερικανο φυσικο Leon M. Lederman και Christopher T. Hill υποστηρζουν στο βιβλο τους Συμμετρα και το μορφο Σμπαν τι "το θερημ της εναι σγουρα να απ τα πιο σημαντικ μαθηματικ θεωρματα που αποδεχθηκαν ποτ στη καθοδγηση της ανπτυξης της σγχρονης φυσικς, ενδεχομνως στο διο εππεδο με το Πυθαγρειο θερημα". 3 τη μετ, λαβε επιστολ απ τον Πρσσο Υπουργ Επιστμης, Τχνης και Δημσιας Εκπαδευσης, στην οποα της απονμει τον ττλο της nicht beamteter ausserordentlicher professor (μη-μνιμη καθηγτρια με περιορισμνα εσωτερικ διοικητικ δικαιματα και καθκοντα). Αυτ ταν μια νευ αποδοχν κτακτη θση καθηγτριας κι χι η υψηλτερη θση συνηθισμνου» καθηγητ, η οποα τανε θση δημοσου.



     Παρ το γεγονς τι αναγνρισε τη σημασα του ργου της, η θση της εξακολουθοσε να μη της παρχει μισθ. Δεν πληρθηκε για τις διαλξεις της μχρι που πρε τη θση της Lehrbeauftragte für Algebra το επμενο τος. ταν o Α' Παγκ. Πλ., η Γερμανικ Επανσταση του 1918-1919 επφερε σημαντικ αλλαγ στη κοινωνικ συμπεριφορ, καθς και στα δικαιματα των γυναικν. Το 1919 το Πανεπιστμιο του Γκτινγκεν επτρεψε στην Νοτερ να προχωρσει με την υφηγεσα της (υποψφια για μονιμτητα). Η προφορικ εξταση πραγματοποιθηκε τλη Μη και παρδωσε με επιτυχα τη διλεξη για την υφηγεσα της τον Ιονιο. Αν και το θερημ της εχε βαθειν επδραση στη φυσικ, μεταξ των μαθηματικν, εναι καλλτερα ενθυμομενη για τη δημιουργικ συμβολ της στην αφηρημνη λγεβρα. πως λει ο Nathan Jacobson στην εισαγωγ του στο Noether's Collected Papers:

   "Η ανπτυξη της αφηρημνης λγεβρας, που εναι να απ τις πιο χαρακτηριστικς καινοτομες του 20στο αινα στα μαθηματικ, οφελεται σε μεγλο βαθμ σε εκενη -στις δημοσιευμνες εργασες, διαλξεις και στη προσωπικ επιρρο της στους συγχρνους της".

      Η πρωτοποριακ εργασα της στην λγεβρα ξεκνησε το 1920. Σε συνεργασα με τον W. Schmeidler, καναν μια δημοσευση για τη θεωρα των ιδεωδν στην οποα ορζουνε τα αριστερ και δεξι ιδεδη σε δακτλιο. Το επμενο τος κανε μια δημοσευση-ορσημο που ονομζεται Idealtheorie Ringbereichen, αναλοντας αξουσες αλυσιδωτς καταστσεις σε σχση με τα ιδεδη. Ο καταξιωμνος αλγεβριστς Irving Kaplansky αποκλεσε αυτ το ργο επαναστατικ. Η δημοσευση αυτ δωσε αφορμ για τον ρο Νουτεριστικς δακτλιος (Noetherian ring) και πολλ λλα μαθηματικ αντικεμενα που ονομζονται Νουτεριστικ.
      Το 1924 νας νεαρς Ολλανδς μαθηματικς, o B.L. van der Waerden, πγε στο Πανεπιστμιο του Γκτινγκεν. Αμσως ρχισε να συνεργζεται με τη Νοτερ, η οποα παρεχε πολτιμες μεθδους ως προς την αφηρημνη λγεβρα. Ο Van der Waerden αργτερα επε πως η πρωτοτυπα της ταν απλυτη και πρα απ κθε σγκριση. Το 1931 δημοσευσε το Moderne Algebra, να κεμενο επικεντρωμνο στον τομα. Ο 2ος τμος του δανεστηκε σε μεγλο βαθμ μρος της εργασας της. Αν κι εκενη δεν επιδικει αναγνριση, ο BL van der Waerden περιλαμβνει ως σημεωση στην 7η κδοση πως εναι βασισμνη εν μρει σε διαλξεις των Ε. Artin & E. Noether. Μερικς φορς εχε επιτρψει σε συναδλφους και φοιτητς της να χρησιμοποισουνε τις ιδες της, βοηθντας τους να αναπτξουνε τη σταδιοδρομα τους σε βρος της δικς της.



      Η επσκεψη του Van der Waerden ταν μρος μιας συγκλτου μαθηματικν απ' λο τον κσμο στο Γκτινγκεν, το οποον γινε σημαντικ κντρο μαθηματικς και φυσικς ρευνας. Τη περοδο 1926-1930 ο Ρσσος τοπολογιστς Pavel Alexandrov δδαξε στο πανεπιστμιο και γργορα γινε καλς φλος με τη Νοτερ. Ξεκνησε ν' αναφρεται σε αυτν ως “der Noether”, χρησιμοποιντας το αρσενικ ρθρο στα Γερμανικ για να δεξει το σεβασμ του. Αυτ προσπθησε να μεριμνσει γι' αυτν να λβει θση στο Γκτινγκεν ως τακτικς καθηγητς, αλλ κατφερε μνο να τονε βοηθσει να εξασφαλσει μια υποτροφα απ το δρυμα Ροκφλερ. Συναντινταν τακτικ κι απολμβαναν τις συζητσεις σχετικ με τις διασταυρσεις λγεβρας και τοπολογας. Το 1935 στο κεμενο του μνημσυνου της ο Alexandrov την αποκλεσε ως "τη μεγαλτερη γυνακα μαθηματικ λων των εποχν".
      Στο Γκτινγκεν, επιτηρε μεγλον αριθμ υποψφιων διδακτρων. Η 1η της ταν η Grete Hermann, που υπερασπστηκε τη διατριβ της το Φλεβρη του 1925. Αργτερα μλησε ευλαβικ ως προς αυτν αναφροντας την ως μητρα της διατριβς της. Επιτρησεν επσης τον Max Deuring, που διακρθηκε ως προπτυχιακς φοιτητς και στη συνχεια συνβαλε σημαντικ στον τομα της αριθμητικς γεωμετρας, τον Hans Fitting, γνωστ για το θερημα του Fitting (Fitting's theorem) και τo Λμμα του Fitting (Fitting lemma), και τον Zeng Jiongzhi (γνωστς ως Chiungtze C. Tsen στο αγγλικ), ο οποος απδειξε το θερημα Tsen (Tsen's Theorem). Συνεργστηκεν επσης στεν με τον Wolfgang Krull, που προθησε σε μεγλο βαθμ την αντιμεταθετικ λγεβρα με τη Hauptidealsatz και τη θεωρα διστασς του για αντιμεταθετικος δακτυλους.
      Εκτς απ τις μαθηματικς γνσεις της, εχε το σεβασμ των υπολοπων για τη συμπεριφορ της προς τους λλους. Αν και μερικς φορς εκφραζταν με αγνεια προς εκενους που διαφωνοσαν μαζ της, κρδισε φμη για τη συνεχ εξυπηρετικτητα κι υπομονετικ καθοδγηση των νων φοιτητν. Η αφοσωσ της στη μαθηματικν ακρβεια προκλεσε να συνδελφο να την αποκαλσει σοβαρ κριτικ, αλλ συνδαζε αυτ το ατημα για ακρβεια με αισιδοξη κι ελπιδοφρα στση. ‘νας συνδελφος τη περιγραψε αργτερα τσι:. "Καθλου εγωιστικς χαρακτρας και χωρς ματαιοδοξα, ποτ δεν ισχυρστηκε τποτα για τον εαυτ της, οτε διεκδκησε, αλλ προθησε τα ργα των μαθητν της πνω απ’λα". Η λιτ ζω της στην αρχ τανε λγω του τι αρνθηκε αμοιβ για το ργο της. Ωστσο, ακμη κι ταν ρχισε να πληρνεται να μικρ μισθ απ το πανεπιστμιο το 1923, συνχισε να ζει απλ και ταπειν ζω. Πληρθηκε πιο γενναιδωρα αργτερα στη ζω της, αλλ κληροδτησε το μισυ του μισθο της στον ανιψι της, Gottfried E. Noether.



      Κυρως αδιφορη για την εμφνιση και τους τρπους της, επικεντρθηκε στις μελτες της κι απκλεισε το ρομαντισμ και τη μδα. Μια διακεκριμνη της λγεβρας, η Olga Taussky-Todd περιγρφει να γεμα, στη διρκεια του οποου η Νοτερ πλρως απορροφημνη σε μια μαθηματικ συζτηση, εκφραζταν με γριο τρπο καθς τρωγε και της πεφτε το φαγητ συνεχς και το σκοπιζε απ το φρεμ της, εντελς ατραχη. Φοιτητς που τανε προσεκτικο με την εμφνιση μαζεονταν απ φβο καθς η δια παιρνε το μαντλι απ τη μπλοζα της κι αγνοοσε το ανακατεμνο της μαλλ κατ τη διρκεια των διαλξεων. 2 μαθτριες τη πλησισανε μια φορ κατ τη διρκεια του διαλεμματος ενς 2ωρου μαθματος για να εκφρσουνε την ανησυχα τους, αλλ δεν ταν σε θση να της τραβξουνε τη προσοχ απ την ενεργητικ μαθηματικ συζτηση που εχε με λλους μαθητς.
      Σμφωνα με τη νεκρολογα του Van der Waerden για την μι Ντερ, δεν ακολουθοσε να πλνο για τις διαλξεις της, πργμα το οποο απογοτευε μερικος μαθητς. Αντ 'αυτο, χρησιμοποιοσε τις διαλξεις της ως ρες αυθρμητης συζτησης με τους μαθητς της για να σκφτεται και να διευκρινζει σημαντικ μαθηματικ προβλματα της ττε εποχς. Μερικ απ τα πιο σημαντικ αποτελσματ της αναπτυχθκανε σ' αυτς τις διαλξεις, καθς κι οι σημεισεις απ τις διαλξεις των μαθητν της αποτελσανε τη βση για πολλ σημαντικ βιβλα, πως αυτ των Van der Waerden και Deuring.
      Παρμεινε ηγετικ στλεχος του Τμματος Μαθηματικν του Γκτινγκεν μχρι το 1933. Οι μαθητς της ταν γνωστο και ως "αγρια της Ντερ". Το 1924, ο Ολλανδς μαθηματικς BL van der Waerden εντχθηκε στον κκλο της και σντομα γινε ο κορυφαος εκφραστς των ιδεν της Ντερ. Το ργο της ταν η βση για το δετερο τμο του επιδραστικο βιβλου του το 1931, Moderne Algebra. ταν ανλαβε τη διεθυνση της ολομλειας το 1932 στο Διεθνς Συνδριο των Μαθηματικν στη Ζυρχη, το αλγεβρικ της δαιμνιο εχε αναγνωριστε σε λο τον κσμο. Το επμενο τος, η κυβρνηση της ναζιστικς Γερμανας καθαρεσε τους Εβραους απ πανεπιστημιακς θσεις κι αυτ μετακμισε στις ΗΠΑ για να αναλβει θση στο Bryn Mawr College στη Πενσυλβνια. Το 1935, υποβλθηκε σε χειρουργικ επμβαση για μια κστη στις ωοθκες και παρ τα σημδια ανκαμψης, πθανε 4 μρες αργτερα σε ηλικα 53 ετν. 

    Το μαθηματικ ργο της χει χωριστε σε 3 εποχς. Στη 1η (1908-1919), συνεισφερε σε μεγλο βαθμ στις θεωρες των αλγεβρικν αναλλοωτων και των αριθμητικν σωμτων. Το ργο της πνω στους διαφορικος αναλλοωτους του λογισμο των συναρτσεων, το θερημα Νοτερ, χει χαρακτηριστε ως ν απ τα πιο σημαντικ μαθηματικ θεωρματα που αποδεχθηκε ποτ στη καθοδγηση της ανπτυξης της σγχρονης φυσικς. Στη 2η (1920-1926), ξεκνησεν ργο που λλαξε το πρσωπο της αφηρημνης λγεβρας. Στη κλασσικ της δημοσευση Idealtheorie in Ringbereichen (θεωρα των ιδεωδν σε χρους δακτυλων, 1921) ανπτυξε τη θεωρα των ιδεωδν στους αντιμεταθετικος δακτυλους σε ισχυρ εργαλεο με μεγλο ερος εφαρμογν. κανε κομψ χρση της συνθκης ανερχμενης αλυσδας και τα αντικεμενα που την ικανοποιον ονομζονται Noetherian προς τιμ της. Στη 3η (1927-1935), δημοσευσε σημαντικ ργα στη μη μεταθετικ λγεβρα και τους υπερσμπλοκους αριθμος κι νωσε τη θεωρα της αναπαρστασης ομδων με τη θεωρα των συνλων και των ιδανικν. Εκτς απ τις δικς της εκδσεις, τανε γενναιδωρη με τις ιδες της και πιστνεται με πολλς γραμμς της σε ρευνες που δημοσιευθκαν απ λλους μαθηματικοος, ακμη και σε τομες πολ διαφορετικος απ το κριο ργο της, πως η αλγεβρικ τοπολογα.
   Αρκετο απ τους συναδλφους της παρακολοθησαν διαλξεις της κι επτρεψε κποιες απ τις ιδες της, πως το εξωτερικ γινμενο (verschränktes Produkt στα γερμανικ) της προσεταιριστικς λγεβρας, να δημοσιευτον απ λλους. Εχε δε, διδξει τουλχιστον 5 6μηνιαα μαθματα στο Γκτινγκεν:

 * Χειμνας 1924/25: Gruppentheorie und hyperkomplexe Zahlen (Group Theory and Hypercomplex Numbers)

 * Χειμνας 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und Darstellungstheorie (Hypercomplex Quantities and Representation Theory)

 * Καλοκαρι 1928: Nichtkommutative Algebra (Noncommutative Algebra)

 * Καλοκαρι 1929: Nichtkommutative Arithmetik (Noncommutative Arithmetic)

 * Χειμνας 1929/30: Algebra der hyperkomplexen Grössen (Algebra of Hypercomplex Quantities).

     Τα μαθματα αυτ συχν προηγθηκαν σημαντικν δημοσιεσεων σε αυτος τους τομες.

      Μιλοσε γργορα, γεγονς που αντικατοπτρζει τη ταχτητα της σκψης της, πολλο λγανε πως κι απαιτοσε μεγλη συγκντρωση απ τους μαθητς της. Οι μαθητς που δεν τους ρεσε το στυλ της συχν αισθνονταν αποξενωμνοι. Μερικο μλιστα θεωροσαν τι βασιζταν υπερβολικ σε αυθρμητες συζητσεις. Οι πιο αφοσιωμνοι μαθητς της μως απολαμβνανε τον ενθουσιασμ με τον οποο προσγγιζε τα μαθηματικ, ειδικ επειδ οι διαλξεις τις συχν βασζονταν σε προηγομενες εργασες που 'χανε κνει μαζ. Ανπτυξε στεν κκλο συναδλφων και φοιτητν που σκφτονταν με τον διο τρπο κι απκλεισε τους λλους. Εξωτερικο επισκπτες των διαλξεν της συνθως μεναν μνο 30 λεπτ στην αθουσα πριν αναχωρσουν απογοητευμνοι συγχυσμνοι. νας τακτικς μαθητς εχε πει σε μα ττοια περπτωση: "Ο εχθρς ηττθηκε -χει φγει". δειχνε αφοσωση στο αντικεμενο και τους μαθητς της πραν της ακαδημακς ημρας. Κποτε, ταν το κτριο κλεισε για μιαν αργα, συγκντρωσε τη τξη ξω στα σκαλι, τους οδγησε μες στο δσος και δδαξε σε τοπικ καφ. Αργτερα, αφο εχεν απορριφθε απ το Τρτο Ριχ, προσκλεσε τους μαθητς στο σπτι της για να συζητσουνε τα μελλοντικ τους σχδια και μαθηματικς ννοιες.



      Το χειμνα του 1928-1929 δχτηκε πρσκληση για το Κρατικ Πανεπιστμιο της Μσχας, που συνεργστηκε με τον P.S. Alexandrov. Εκτς απ τη συνχιση της ρευνς της, δδαξε μαθματα αφηρημνης λγεβρας κι αλγεβρικς γεωμετρας. Εργστηκε με τους τοπολογιστς Lev Pontryagin και Nikolai Chebotaryov, που αργτερα επικρτησαν τη συνεισφορ της στην ανπτυξη της θεωρας Γκαλου. Παρ το γεγονς τι η πολιτικ δεν την ενδιφερε και ποτ ιδιατερα, ανπτυξε ντονο ενδιαφρον για τα πολιτικ ζητματα και σμφωνα με τον Alexandrov, δειξε σημαντικ υποστριξη στη Ρωσικ Επανσταση (1917). ταν ιδιατερα ευτυχς ταν εδε σοβιετικ ανπτυξη στους τομες της επιστμης και των μαθηματικν, που θεωρε ενδεικτικ των νων ευκαιριν που γνανε δυνατς απ το ργο των Μπολσεβκων. Η στση της αυτ προκλεσε προβλματα στη Γερμανα, με αποκορφωμα την ξωση της απ να ξενοδοχεο, αφο οι ηγτες των φοιτητν παραπονθηκαν τι ζουν με μια Μαρξστρια Εβραα. Προγραμμτισε να επιστρψει στη Μσχα, προσπθεια που υποστριξε ο Alexandrov. Αφο φυγε απ τη Γερμανα το 1933, προσπθησε να τη βοηθσει ν' αποκτσει θση στο Κρατικ Πανεπιστμιο της Μσχας απ το Σοβιετικ Υπουργεο Παιδεας. Αν κι αυτ η προσπθεια ταν ανεπιτυχς, επικοινωνοσανε συχν κατ τη διρκεια της δεκαετας του 1930, και το 1935 κανε σχδια για την επιστροφ της στη Σοβιετικ νωση. Εν τω μεταξ, ο αδελφς της Φριτζ δχτηκε μια θση στο Ινστιτοτο ρευνας για τα Μαθηματικ και Μηχανικ στο Τομσκ, στη Σιβηρα της Ρωσας, αφο χασε τη δουλει του στη Γερμανα.
      Το 1932 η Νοτερ κι ο Emil Artin λαβαν το βραβεο Ackermann-Teubner για τη συμβολ τους στα μαθηματικ. Το βραβεο τανε χρηματικ αμοιβ 500 μρκων και θεωρθηκε ως αναμενμενη επσημη αναγνριση του σημαντικο ργου της στον τομα αυτ. Παρ λα αυτ, οι συνδελφο της εξφρασαν την απογοτευσ τους για το γεγονς τι δεν εξελγη στο Göttingen Gesellschaft der Wissenschaften (ακαδημα των επιστημν) και ποτ δεν προχθη στη θση του Ordentlicher Professor (καθηγητς). Οι συνδελφο της γιρτασαν τα 50στ της γενθλια της το 1932, σε παραδοσιακ στυλ μαθηματικν. Ο Helmut Hasse αφιρωσε να ρθρο σε αυτν στο Mathematische Annalen, που ο διος επιβεβαωσε την υποψα της τι ορισμνες πτυχς της μη-αντιμεταθετικς λγεβρας εναι απλοστερες απ τι κενες της αντιμεταθετικς λγεβρας, αποδεικνοντας να μη-αντιμεταθετικ νμο της αμοιβαιτητας. Αυτ την ικανοποησε πρα πολ. Επσης, της στειλε να μαθηματικ ανιγμα, το ανιγμα των συλλαβν, το οποο λυσε αμσως. Το ανιγμα χει χαθε. Το Νομβρη του διου τους, εκφνησε μεγλη διλεξη (Vortrag großer) με θμα Υπερσνθετα συστματα σε σχση με την αντιμεταθετικ λγεβρα και τη θεωρα αριθμν στο Διεθνς Συνδριο των Μαθηματικν στη Ζυρχη. Το συνδριο παρακολοθησαν 800 τομα, μεταξ αυτν κι οι συνδελφο της Hermann Weyl, Edmund Landau και Wolfgang Krull. Υπρχαν 420 επσημες συμμετοχς κι 21 παρουσισεις. Προφανς, η εξχουσα θση της ταν μια αναγνριση της σημασας της συνεισφορς της στα μαθηματικ. Το συνδριο του 1932 περιγρφεται ως η μεγλη στιγμ της καρριρας της.


           Το ρλανγκεν γεντειρ της, σε καρτ-ποστλ της εποχς

    ταν ο Αδλφος Χτλερ γινε καγκελριος το Γενρη του 1933, η ναζιστικ δραστηριτητα σε λη τη χρα αυξθηκε δραματικ. Στο Πανεπιστμιο του Γκτινγκεν της Γερμανας ο Φοιτητικς Σλλογος οδγησε την επθεση στο "αντι-γερμανικ πνεμα» που αποδιδταν στους Εβραους και βοηθθηκε απ να λκτορα τον Werner Weber, πρην φοιτητ της. Οι αντισημιτικς συμπεριφορς δημιοργησαν να κλμα εχθρικ ως προς τους εβραους καθηγητς. νας νεαρς διαδηλωτς φρεται να ζτησε: "ριοι μαθητς θλουν ρια κι χι εβρακ μαθηματικ". Απ τις 1ες ενργειες του Χτλερ ταν ο Νμος για την Αποκατσταση του Επαγγελματικο Δημσιου Τομα που απομκρυνε Εβραους και πολιτικ ποπτους δημσιους υπαλλλους (συμπεριλαμβανομνων των πανεπιστημιακν καθηγητν) απ τις δουλεις τους αν δεν εχαν αποδεξει τη πστη τους στη Γερμανα στον Α' Παγκ. Πλ. Τον Απρλη του 1933 η Νοτερ λαβε ειδοποηση απ το Πρωσσικ Υπουργεο Επιστημν, Τεχνν, και Δημσιας Εκπαδευσης που γραφε: "Βσει της παραγρφου 3 του Υπαλληλικο Κδικα, της 7ης Απριλου 1933 με τη παροσα επιστολ σου αφαιρ το δικαωμα να διδσκεις στο Πανεπιστμιο του Γκτινγκεν".
     Αρκετο απ τους συναδλφους της, συμπεριλαμβανομνων των Max Born και Richard Courant, εχαν επσης ανακληθε απ τις θσεις τους. Εκενη αποδχθηκε την απφαση ρεμα, παρχοντας υποστριξη στους λλους κατ τη διρκεια αυτς της δσκολης χρονις. Ο Hermann Weyl αργτερα γραψε: "Το θρρος της μι Νοτερ, η ειλικρνεια, η αδιαφορα για τη δικ της μορα, το συμφιλιωτικ πνεμα της, ταν μσω του μσους και της μιζριας, της απγνωσης και της θλψης που μας περιββαλλε, μια ηθικ παρηγορι". Τυπικ παρμεινε επικεντρωμνη στα μαθηματικ, συγκεντρνοντας μαθητς στο διαμρισμ της για να συζητσουνε τη θεωρα κλσης των σωμτων. ταν νας απ τους μαθητς της εμφανστηκε με τη στολ της ναζιστικς παραστρατιωτικς οργνωσης Sturmabteilung (SA), δεν δειξε καννα σημδι ταραχς και σμφωνα με πληροφορες, ακμη και γλασε γι' αυτ αργτερα.
    πως δεκδες πρoσφτως νεργοι καθηγητς ρχισαν να ψχνουνε για θσεις εκτς Γερμανας, οι συνδελφο τους στις ΗΠΑ ρχισαν να παρσχουνε βοθεια κι ευκαιρες απασχλησης σε αυτος. Ο Αλμπερτ Ανστιν κι ο Hermann Weyl εχανε διοριστε στο Institute for Advanced Study στο Πρνστον, εν λλοι προσπθησαν να βρουν να χορηγ για νμιμη μετανστευση. Η Νοτερ ρθε σε επαφ με τους εκπροσπους των 2 εκπαιδευτικν ιδρυμτων, το Bryn Mawr College στις ΗΠΑ και το Somerville College στο Πανεπιστμιο της Οξφρδης στην Αγγλα. Μετ απ μια σειρ διαπραγματεσεων με το δρυμα Ροκφλλερ, μια επιχοργηση στο Bryn Mawr εγκρθηκε για κενη και πρε μια θση εκε, αρχς γενομνης απ του 1933.


                  Το φιλξενο Bryn Mawr στο δειλιν

    Στο Bryn Mawr συνντησε την Anna Wheeler, που εχε σπουδσει στο Γκτινγκεν, λγο πριν φτσει εκε. Μια λλη πηγ στριξης στο κολγιο ταν ο πρην πρεδρος του Bryn Mawr, ο Marion Edwards Park, ο οποος κλεσε με ενθουσιασμ τους μαθηματικος της περιοχς για να δονε τη Δρ. Νοτερ σε δρση! Μαζ με μια μικρ ομδα μαθητν της δολεψε γργορα μσω του βιβλου του Van der Waerden, Moderne Algebra I και σε τμματα της Theorie του Erich Hecke (θεωρα αλγεβρικν αριθμν, 1908). Το 1934, ρχισε να δνει διαλξεις στο Institute for Advanced Study στο Πρνστον κατπιν πρσκλησης των Abraham Flexner κι Oswald Veblen. χει επσης συνεργαστε κι επιτηρσει με τους Abraham Albert και Harry Vandiver. Εν τοτοις, παρατρησε σχετικ με το Princeton τι δεν ταν ευπρσδεκτη στο πανεπιστμιο των ανδρν, που τποτα γυναικεο δεν γνεται δεκτ. Η διαμον της στις ΗΠΑ ταν ευχριστη, περιβαλλμενη απ υποστηρικτικος συναδλφους κι απορροφημνη στα αγαπημνα θματ της. Το καλοκαρι του 1934 για λγο επστρεψε στη Γερμανα να δε τον Emil Artin Fritz και τον αδελφ της πριν φγει για Τομσκ. Παρ το γεγονς τι πολλο απ τους πρην συναδλφους της εχαν αναγκαστε να φγουν απ τα πανεπιστμια, τανε σε θση να χρησιμοποισει τη βιβλιοθκη ως μια ξνη μαθτρια.
    Τον Απρλη του 1935 οι γιατρο ανακλυψαν ναν γκο στη λεκνη της. Ανσυχοι για τις επιπλοκς απ τη χειρουργικ επμβαση, προτενουνε μρες ξεκοραση στο κρεβτι πρτα. Κατ την επμβαση βρκαν μια ωοθηκικ κστη στο μγεθος ενς μεγλου πεπονιο. Δο μικρτεροι, καλοθεις γκοι στη μτρα της εμφανστηκαν και δεν αφαιρθηκαν για να αποφευχθον περαιτρω χειρουργικς επεμβσεις. Για 3 μρες φαινταν ν' αναρρνει κανονικ κι ανρρωσε γργορα απ τη κατρρευση του κυκλοφορικο στη 4η. Στις 14 Απρλη πεσε ανασθητη, η θερμοκρασα της αυξθηκε σε 109 °F (42.8 °C), και πθανε. "Δεν εναι εκολο να πομε τι εχε συμβε στη Δρ Νοτερ, γραψε νας απ τους γιατρος. "Εναι πιθαν να υπρχε κποια μορφ ασυνθιστης λοιμογνου μλυνσης, η οποα χτπησε τη βση του εγκεφλου, που βρσκονται τα κντρα θερμοκρασας". Λγες ημρες μετ το θνατ της, οι φλοι της και συνεργτες στο Bryn Mawr πραγματοποησαν να μικρ μνημσυνο στο σπτι του College President Park. Ο Hermann Weyl κι ο Richard Brauer ταξδεψαν απ το Πρνστον και μλησαν με τους Wheeler και Taussky για τη συνδελφ τους κι αναχρησαν. Τους μνες που ακολοθησαν ρχισαν να εμφανζονται γραπτ αφιερματα σε λο τον κσμο: Ο Albert Einstein με τους Van der Waerden, Weyl, και Pavel Alexandrov στειλαν τα σβη τους. Το σμα της αποτεφρθηκε κι οι στχτες της θφτηκαν κτω απ τη διβαση πεζν γρω απ το μοναστρι της M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.

                  M. Carey Thomas Library στο Bryn Mawr.

    Πρτα απ 'λα εκτιμται απ τους μαθηματικος ως ειδμων της λγεβρας και για τη συνεισφορ της στη τοπολογα. Οι φυσικο την εκτιμονε πιτερο για το δισημο θερημα της, λγω της εκτεταμνης συνπεις στη Θεωρητικ Φυσικ και τα δυναμικ συστματα. δειξε μιαν οξεα τση για την αφηρημνη λγεβρα, που της επτρεψε να προσεγγσει τα προβλματα των μαθηματικν σε νους και πρωττυπους τρπους. Ο φλος και συνδελφς της Hermann Weyl περιγρφει την επιστημονικ παραγωγ της σε 3 σαφς διακριτς εποχς:

   1) Η περοδος της σχετικς εξρτησης, 1907-1919: Στη 1η εποχ (1907-19), ασχολθηκε πρωτστως με διαφορικς κι αλγεβρικς σταθερς, αρχζοντας με τη διατριβ της υπ του Paul Gordan. Οι μαθηματικο ορζοντες της διευρνθηκαν και το ργο της γινε πιο γενικ κι αφηρημνο, αφο γινε γνστης του ργο του David Hilbert, μσω στενς συνεργασας με τον αντικατασττη του Gordan, Ernst Sigismund Fischer. Αφο μετακμισε στο Γκτιγκεν το 1915, παργαγε τη δημιουργικ της εργασα της στη φυσικ, τα δο θεωρματα Νοτερ.

   2) Οι ρευνες που συσπειρθηκαν γρω απ την γενικ θεωρα των ιδεωδν 1920-1926: Στη 2η εποχ (1920-26), αφιρωσε το χρνο της στην εξλιξη της θεωρας των μαθηματικν δακτυλων.

   3) Η μελτη των μη-αντιμεταθετικν αλγεβρικν αναπαραστσεν τους με γραμμικος μετασχηματισμος κι η εφαρμογ τους στη μελτη των σωμτων με αντιμεταθετικος αριθμος και της αριθμητικς τους: Στη 3η εποχ (1927-35), επικεντρθηκε στη μη-αντιμεταθετικ λγεβρα, στους γραμμικος μετασχηματισμος και σταθερο υπολογισμο πεδα αριθμν.

    Τον αινα απ το 1832 ως το θνατ της το 1935, ο τομας των μαθηματικν -ειδικ λγεβρα- υπστη μια μεγλη επανσταση, που ο απηχς της εναι ακμη αισθητς. Μαθηματικο των προηγομενων αινων εχανε δουλψει πνω σε πρακτικς μεθδους για την επλυση συκρεκριμνων τπων εξισσεων, π.χ. τριτοβθμιων, τεταρτοβθμιων και πεμπτοβθμιων πως επσης και στο σχετικ πρβλημα κατασκευς κανονικν πολυγνων με καννα και διαβτη. Ξεκινντας με την απδειξη του Καρλ Φρντριχ Γκους το 1832,σμφωνα με την οποα πρτοι αριθμο πως το 5 μπορον να παραγοντοποιηθον σε Γκαουσιανος ακεραους, την εισαγωγ του Εβαρστ Γκαλου στις ομδες μεταθσεων, το 1832 (αν και λγω του θαντου του οι μελτες του δημοσιεθηκαν μλις το 1846 απ τον Liouville), η ανακλυψη του William Rowan Hamilton των τεταρτιωνμων το 1843 κι ο πιο σγχρονος ορισμς του Arthur Cayley πνω στις ομδες το 1854, η ρευνα στρφηκε προς τον καθορισμ των ιδιοττων των λο και πιο αφηρημνων συστημτων που ορζονται απ λο και πιο καθολικος καννες. Οι πιο σημαντικς συνεισφορς της Νοτερ στα μαθηματικ, τανε για την ανπτυξη του νου αυτο τομα, της αφηρημνης λγεβρας.
    2 απ τα πιο βασικ αντικεμενα μελτης στην αφηρημνη λγεβρα εναι οι ομδες κι οι δακτλιοι. Μια ομδα αποτελεται απ να σνολο στοιχεων και μα πρξη, η οποα συνδυζει να 1ο κι να 2ο στοιχεο κι επιστρφει να 3ο. Η πρξη πρπει να πληρο ορισμνους περιορισμος για να ορσει μια ομδα: Πρπει να 'ναι κλειστ (ταν εφαρμζεται σε κθε ζεγος στοιχεων του συνλου, το παραγμενο στοιχεο πρπει επσης να 'ναι μλος αυτο του συνλου), πρπει να 'ναι προσεταιριστικ, πρπει να υπρχει ν ουδτερο στοιχεο (στοιχεο που, ταν συνδυζεται με λλο χρησιμοποιντας τη πρξη, δνει αποτλεσμα το αρχικ στοιχεο, πως ταν προσθσεις το 0 σε αριθμ πολλαπλασισεις με το 1) και για κθε στοιχεο πρπει να υπρχει ν αντστροφο στοιχεο. νας δακτλιος απ την λλη, περιλαμβνει να σνολο απ στοιχεα, αλλ τρα χει 2 πρξεις. Η 1η πρπει να κνει το σνολο μια ομδα, κι η 2η να 'ναι προσεταιριστικ κι επιμεριστικ σε σχση με τη 1η. Μπορε να 'ναι κι αντιμεταθετικ: Αυτ σημανει τι το αποτλεσμα της εφαρμογς της πρξης απ να 1ο σ' να 2ο στοιχεο εναι το διο με το αποτλεσμα της πρξης απ το 2ο στο 1ο -η σειρ των στοιχεων δεν χει σημασα. Αν κθε μη μηδενικ στοιχεο χει να πολλαπλασιαστικ αντστροφο (να στοιχεο Χ ττοιο στε ax=xa=1), ο δακτλιος ονομζεται δακτλιος με διαρεση. να σμα ορζεται ως νας αντιμεταθετικς δακτλιος διαρεσης.


                           Το πανεπιστμιο του Γκτιγκεν

    Οι ομδες μελετονται συχν μσω των αντιπροσωπευτικτερων στοιχεων τους. Στη γενικτερη μορφ τους, αποτελονται απ μιαν επιλογ της ομδας, ενς συνλου και τη δρση της ομδας στο σνολο, δηλαδ, μια πρξη η οποα λαμβνει να στοιχεο της ομδας κι να στοιχεο του συνλου κι επιστρφει να στοιχεο του συνλου. Τις περισστερες φορς, το σνολο εναι νας διανυσματικς χρος κι η ομδα αντιπροσωπεει τις συμμετρες του διανυσματικο χρου. Για παρδειγμα, υπρχει μια ομδα η οποα αντιπροσωπεει τις σταθερς περιστροφς του χρου. Αυτ εναι να εδος συμμετρας του χρου, επειδ ο διος ο χρος δεν αλλζει ταν περιστρφεται ακμη κι αν αλλζουν οι θσεις των στοιχεων σε αυτ. Η Νοτερ χρησιμοποησε αυτ τα εδη των συμμετριν στην εργασα της σχετικ με τις αναλλοωτες ομδες στη φυσικ.

     ν ισχυρν εργαλεο μελτης των δακτυλων εναι μσω των modules τους. να module αποτελεται απ να δακτλιο, ν λλο σνολο, συνθως διαφορετικ απ το υποκεμενο σνολο του δακτυλου το οποο ονομζεται υποκεμενο σνολο του module, μια πρξη σε ζεγη των στοιχεων του υποκεμενου συνλου του module και μια πρξη η οποα λαμβνει να στοιχεο του δακτυλου κι να στοιχεο του module κι επιστρφει να στοιχεο του module. To υποκεμενo σνολο του module με τη πρξη του πρπει να αποτελε μιαν ομδα. να module εναι μια δακτυλιο-θεωρητικ εκδοχ παρστασης της ομδας: Αγνοντας τη 2η πρξη του δακτυλου και τη πρξη σε ζεγη των στοιχεων του module ορζουμε μια αναπαρσταση της ομδας. Η πραγματικ χρησιμτητα των modules εναι τι τα εδη των που υπρχουν κι οι αλληλεπιδρσεις τους, αποκαλπτουνε τη δομ του δακτυλου με τρπους που δεν εναι εμφανες απ τον διο το δακτλιο. Μια σημαντικ ειδικ περπτωση αυτν εναι μια λγεβρα. (Η λξη λγεβρα αναφρεται και στον γνωστ κλδο των μαθηματικν, καθς και σε στοιχεο που συναντμε στον κλδο της λγεβρας). Μια λγεβρα αποτελεται απ 2 δακτυλους και μια πρξη που παρνει να στοιχεο απ κθε δακτλιο κι επιστρφει να στοιχεο του 2ου δακτυλου. Αυτ η πρξη καθιστ το 2ο δακτλιο να module πνω απ τον 1ο. Συχν ο 1ος δακτλιος εναι να σμα.
      Λξεις πως "στοιχεο" και "που συνδυζει τη πρξη" εναι πολ γενικς και μπορε να εφαρμοστονε σε πολλς αληθινς κι αφηρημνες καταστσεις. Οποιοδποτε σνολο των πραγμτων που υπακοει λους τους καννες για μα δο πρξη/εις εναι, εξ ορισμο, μια ομδα ( δακτλιος) κι υπακοει λα τα θεωρματα για τις ομδες ( δακτυλους). Οι ακραιοι αριθμο κι οι πρξεις της πρσθεσης και του πολλαπλασιασμο, εναι μνον να παρδειγμα. Για παρδειγμα, τα στοιχεα μπορε να 'ναι οι λξεις δεδομνων του υπολογιστ, που η 1η συνδυαστικ πρξη εναι XOR κι η 2η εναι λογικ σζευξη. Τα θεωρματα της αφηρημνης λγεβρας εναι ισχυρ, επειδ εναι γενικ: διπουνε πολλ συστματα. Θα μποροσε να φανταστε κανες τι λγα πργματα μπορομε να συμπερνουμε σχετικ με τα αντικεμενα που ορζονται με τσες λγες ιδιτητες, αλλ ακριβς εκε βρσκεται το δρο της Νοτερ: να ανακαλψουμε σα δυνατν πιτερα μπορον να συναχθον απ να δεδομνο σνολο ιδιοττων, αντιστρφως, ο προσδιορισμς του ελχιστου συνλου, του οποου οι στοιχειδεις ιδιτητες ευθνονται για μια συγκεκριμνη παρατρηση. Σε αντθεση με τους περισστερους μαθηματικος, δεν βγαζε συμπερσματα απ τη γενκευση γνωστν παραδειγμτων: αντθετα, εργστηκε μεσα με τις αφηρημνες ννοιες. πως ο van der Waerden υπενθμισε στη νεκρολογα της:

  "Το αξωμα με το οποο η Νοτερ πορεθηκε σε ολκληρο το ργο της θα μποροσε να διατυπωθε ως εξς: Κθε σχση μεταξ των αριθμν, των συναρτσεων και των πρξεων γνεται φανερ, γενικ εφαρμσιμη και πλρως παραγωγικ μνον αφο χει απομονωθε απ συγκεκριμνα αντικεμενα κι χει διαμορφωθε ως καθολικ γκυρη ννοια".

    Αυτ εναι τα καθαρ εννοιολογικ μαθηματικ (begriffliche Mathematik) που τανε χαρακτηριστικ της. Αυτ το φος των μαθηματικν υιοθετθηκε κι απ λλους μαθηματικος και μετ το θνατ της, νθισε σε νες μορφς, πως η θεωρα κατηγοριν.
    Οι ακραιοι αποτελον αντιμεταθετικ δακτλιο του οποου τα στοιχεα εναι οι ακραιοι αριθμο, με συνδυασμνες πρξεις τη πρσθεση και τον πολλαπλασιασμ. Κθε ζεγος ακεραων μπορε να προστεθε να πολλαπλασιζεται, δνοντας πντα ναν λλο ακραιο κι η 1η πρξη, επιπλον, εναι αντιμεταθετικ, δηλαδ, για τυχν στοιχεα a και b στον δακτλιο, a + b = b + a. Η 2η πρξη, ο πολλαπλασιασμς, εναι επσης αντιμεταθετικ, αλλ αυτ δεν εναι απαρατητο να ισχει και για λλους δακτυλους, πργμα που σημανει τι το a σε συνδυασμ με το b μπορε να εναι διαφορετικ απ το b σε συνδυασμ με το a . Παραδεγματα μη αντιμεταθετικν δακτυλων αποτελον οι πνακες και τα τετραδνια. Οι ακραιοι δεν αποτελον να δακτλιο με διαρεση, διτι η δετερη πρξη δεν μπορε πντα να αντιστραφε: Δεν υπρχει ακραιος a ττοιος στε 3 × a = 1. χουν επιπλον ιδιτητες που δεν γενικεονται σε λους τους αντιμεταθετικος δακτυλους. να σημαντικ παρδειγμα εναι το θεμελιδες θερημα της αριθμητικς, που λει τι κθε θετικς ακραιος μπορε να αναλυθε μοναδικ σε 1ους αριθμος. Μοναδικς αναλσεις δεν υπρχουν πντοτε σε λλους δακτυλους, αλλ η Νοτερ βρκε να θερημα μοναδικς ανλυσης, που σμερα ονομζεται Λσκερ-Νοτερ, για τα ιδεδη πολλν δακτυλων. Μεγλο μρος του ργου της γκειται στο καθορισμ του τι ιδιτητες ισχουνε για λους τους δακτυλους, στην επινηση νων αναλγων των παλαιν θεωρημτων των ακεραων και σε καθορισμ του ελαχστου συνλου των υποθσεων που απαιτονται για να δσουν ορισμνες ιδιτητες των δακτυλων.
      Μγα μρος του ργου της στη 1η εποχ της καριρας της συνδθηκε με τη θεωρα αναλλοωτων, κυρως με την αλγεβρικ θεωρα αναλλοωτων. Η θεωρα αυτ ασχολεται με εκφρσεις που παραμνουνε σταθερς (αναλλοωτες) στο πλασιο μιας ομδας μετασχηματισμν. Ως να καθημεριν παρδειγμα, ν να καμπτο μτρο περιστρφεται, οι συντεταγμνες (x, y, z) των τελικν σημεων αλλζουν, αλλ το μκος του L που δδεται απ τον τπο L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 παραμνει το διο. Η θεωρα αναλλοωτων ταν νας ενεργς τομας ρευνας στα τλη του 19ου αι., οφελεται εν μρει στο πργραμμα του ρλαγκεν του Felix Klein, που σμφωνα μ' αυτ διαφορετικ εδη γεωμετρας πρπει να χαρακτηρζονται απ τις αναλλοωτς τους σμφωνα με μετασχηματισμος, π.χ., η πολλαπλ αναλογα της προβολικς γεωμετρας. Το αρχετυπικ παρδειγμα αναλλοωτων εναι η διακρνουσα B2-4AC μιας δυαδικς τετραγωνικς μορφς Ax2 + Bxy + Cy2. Αυτ ονομζεται αναλλοωτη επειδ εναι αμετβλητη ως προς γραμμικος μετασχηματισμος xax + byycx + dy με την ορζουσα ad-bc=1. Αυτο οι μετασχηματισμο αποτελονε την ειδικ γραμμικ ομδα SL2. (Δεν υπρχουν αναλλοωτες στο πλασιο της γενικς γραμμικς ομδας λων των αντιστρψιμων γραμμικν μετασχηματισμν, διτι αυτο οι μετασχηματισμο μπορε να εναι πολλαπλασιασμο με κλιμακωτ παργοντα. Για να διορθωθε αυτ, η κλασσικ θεωρα αναλλοωτων συμπεριλαβε επσης τις σχετικς αναλλοωτες, που αποτελον αναλλοωτες ως και τον κλιμακωτ παργοντα). Κποιος μπορε να ζητσει λα τα πολυνυμα σε A, B, και C που παραμνουν αναλλοωτα απ τη δρση της SL2: αυτς ονομζονται οι αναλλοωτες των δυαδικν τετραγωνικν μορφν κι αποδεικνεται πως εναι τα πολυνυμα στη διακρνουσα. Γενικτερα, μπορε κανες να ζητσει τις αναλλοωτες ομογενν πολυωνμων A0xry0 + ... + Arx0yr του υψηλτερου βαθμο, που θα 'ναι συγκεκριμνα πολυνυμα με συντελεστς A0, ..., Ar, κι ακμη γενικτερα, μπορε κανες να θσει την ανλογη ερτηση για τα ομογεν πολυνυμα με περισστερες απ 2 μεταβλητς.


Πναξ 2 απ τη διατριβ της Nοτερ σχετικ με την αμετβλητη θεωρα. Αυτς ο πνακας συγκεντρνει 202 απ τα 331 σταθερς των τριμερν πολυκεντρικν μορφν. Αυτς οι μορφς ταξινομονται σε δο μεταβλητς x και u. Η οριζντια κατεθυνση του πνακα παραθτει τις σταθερς σε αξουσα ως προς x, εν η κατακρυφη τα απαριθμε σε αξουσα ως προς u.

    νας απ τους κριους στχους της θεωρας αναλλοωτων ταν να λσει το πρβλημα πεπερασμνης βσης. Το ποσ το προν δυο οποιωνδποτε αναλλοωτων εναι αναλλοωτη και το πεπερασμνο πρβλημα βση θεσε το ερτημα αν ταν δυνατ να συμπεριλβει λες τις αναλλοωτες, ξεκινντας με ολοκληρωμνο κατλογο των αναλλοωτων, που ονομζονται γενντριες και στη συνχεια, προσθτοντας πολλαπλασιζοντας τις γενντριες μαζ. Για παρδειγμα, η διακρνουσα δνει μια πεπερασμνη βση (με να στοιχεο) για τις αναλλοωτες της δυαδικς τετραγωνικς μορφς. Ο σμβουλος της Νοτερ, ο Paul Gordan, τανε γνωστς ως βασιλις της θεωρας των αναλλοωτων κι η κυραρχη συμβολ του στα μαθηματικ ταν η λση του προβλματος πεπερασμνης βσης, το 1870, για αναλλοωτες ομογενν πολυωνμων με 2 μεταβλητς. Το απδειξε δνοντας μια κατασκευαστικ μθοδο για την ερεση λων των αναλλοωτων και των γεννητριν τους, αλλ δεν τανε σε θση να πραγματοποισει αυτ τη κατασκευαστικ προσγγιση για αναλλοωτες με 3 περισστερες μεταβλητς. Το 1890, ο David Hilbert απδειξε μια παρμοια πρταση για τις αναλλοωτες ομογενν πολυωνμων με οποιοδποτε αριθμ μεταβλητν. Επιπλον, η μθοδος του δολευε, χι μνο για την ειδικ γραμμικ ομδα, αλλ και για ορισμνες απ τις υποομδες της, πως η ειδικ ορθογνια ομδα. Η 1η απδειξη του προκλεσε κποια διαμχη, επειδ δεν εχε δσει μθοδο για τη κατασκευ των γεννητριν, αν και σε μεταγενστερο ργο κανε τη μθοδο του κατασκευαστικ. Για τη διδακτορικ της διατριβ, η Νοτερ επκτεινε την υπολογιστικ απδειξη του Gordan σε ομογεν πολυνυμα με 3 μεταβλητς. Η κατασκευαστικ προσγγισ της κατστησε δυνατ τη μελτη των σχσεων μεταξ των αναλλοωτων. Αργτερα, αφο εχε στραφε σε πιο αφηρημνες μεθδους, την ονμασε Mist (χλια) και Formelngestrüpp (μια ζογκλα απ εξισσεις).
    Η Θεωρα Γκαλου ασχολεται με μετασχηματισμος σωμτων αριθμν που μεταθτουν τις ρζες μας εξσωσης. Θεωρστε μα πολυωνυμικ εξσωση μιας μεταβλητς x βαθμο ν, της οποας οι συντελεστς προρχονται απ κποιο σμα βσης,το οποο μπορε να εναι για παρδειγμα το σμα των πραγματικν αριθμν, των ρητν των ακραιων modulo7. Μπορε να υπρχουν τιμς του x ττοιες στε να κνουν το πολυνυμο να ισοται με μηδν. Ττοιες τιμς αν υπρχουν λγονται ρζες. Αν χουμε το πολυνυμο x2 + 1 και βρισκμαστε στο σμα των πραγματικν αριθμν,ττε το πολυνυμο δεν χει ρζες γιατ για κθε τιμ του x το πολυνυμο θα εναι μεγαλτερο σο του 1. Αν ωστσο το σμα εναι επεκτεταμνο, ττε το πολυνυμο σως να χει ρζες κι αν επεκταθε αρκετ ττε πντα θα χει αριθμ ριζν σο με τον βαθμ του. Συνεχζοντας στο προηγομενο παρδειγμα, αν το σμα που χουμε εναι των μιγαδικν αριθμν,ττε το πολυνυμο παρνει δο ρζες, τις i και –i, που i η φανταστικ μονδα, δηλαδ i = -1. Γενικ το σμα επκτασης στο οποο το πολυνυμο αναλεται στις ρζες του λγεται σμα ριζν του πολυωνμου.


       Η Νοτερ δδαξε στο Moscow State University το 1928–29.

      Η Ομδα Γκαλου ενς πολυωνμου εναι το σνολο λων των δυνατν μετασχηματισμν της ομδας ριζν του, διατηρντας παρλληλα το σμα βσης και τις ρζες του πολυωνμου. (Στη μαθηματικ γλσσα αυτο οι μετασχηματισμο ονομζονται αυτομορφισμο). Η ομδα Γκαλου του x2 + 1 αποτελεται απ δο στοιχεα: τον ταυτοτικ αυτομορφισμ ο οποος στλνει κθε μιγαδικ αριθμ στον εαυτ του κι ο συζυγς αυτομορφισμς που στλνει το i στο –i. Δεδομνου τι η ομδα Γκαλου δεν αλλζει το σμα βσης, αφνει λους του συντελεστς του πολυωνμου σταθερος, οπτε και το σνολο των ριζν του. Κθε ρζα μπορε να σταλθε σε κποια λλη τσι στε ο αυτομορφισμς αυτς να ορζει μα μετθεση των ν ριζν μεταξ τους. Η σημασα της ομδας Γκαλου προρχεται απ το Θεμελιδες Θερημα της Θεωρας Γκαλου το οποο αποδεικνει τι τα σματα που βρσκονται μεταξ του σματος βσης και του σματος ριζν βρσκονται σε να προς να αντιστοιχα με τις υποομδες Γκαλου.
    Το 1918 η Νοτερ δημοσευσε μια σημαντικ εργασα πνω στο αντστροφο πρβλημα Γκαλου. Αντ να προσδιορσει την ομδα Γκαλου των μετασχηματισμν δοθντος σματος και της επκτασς του, αναρωτθηκε χοντας να σμα και μα ομδα,αν εναι πντα εφικτ να βρομε μα επκταση του σματος που να χει τη συγκεκρμενη ομδα ως τη ομδα Γκαλου του. Το ονμασε πρβλημα της Νοτερ που αναρωτιται αν το σταθερ σμα μιας υποομδας G της ομδας μεταθσων Sn που δρα στο σμα k(x1, ... , xn) εναι πντα μα υπερβατικ επκταση του σματος k.(Αναφρθηκε 1η φορ σ' αυτ το πρβλημα σε μια εργασα του 1913, που απδωσε το πρβλημα στο συνδελφ της Fischer). δειξε τι ισχει για ν = 2, 3, 4. Το 1969 ο R. G. Swan βρκε ν αντιπαρδειγμα στο πρβλημα Νοτερ, με ν = 47 και G μα κυκλικ ομδα τξης 47 (αν κι αυτ η ομδα μπορε να ορισθε ως ομδα Γκαλου πνω απ τους ρητος με πολλος τρπους). Το αντστροφο πρβλημα Γκαλου παραμνει λυτο.
    Ο David Hilbert κι ο Felix Klein φρανε τη Νοτερ στο Γκτιγκεν το 1915, ζητντας την εμπειρογνωμοσνη της σε θματα θεωρας αναλλοωτων για να τους βοηθσει στη κατανηση της γενικς σχετικτητας, μιας γεωμετρικς θεωρας της βαρτητας που αναπτχθηκε κυρως απ τον λμπερτ Ανστιν. Ο Hilbert εχε παρατηρσει τι η διατρηση της ενργειας φαινταν να παραβιζεται στη γενικ σχετικτητα, το οποο οφελεται στο γεγονς τι η βαρυντικ ενργεια μποροσε να λκεται. Η Νοτερ παρδωσε την επλυση αυτο του παραδξου, καθς κι να θεμελιδες εργαλεο της σγχρονης θεωρητικς φυσικς, με το πρτο θερημα της Νοτερ, το οποο απδειξε το 1915, αλλ δεν το δημοσευσε μχρι το 1918. λυσε το πρβλημα, χι μνο για τη γενικ σχετικτητα, αλλ προσδιρισε τις συντηρημνες ποστητες για κθε σστημα φυσικν νμων που κατχει κποια συνεχ συμμετρα. Αφο παρλαβε το ργο της, ο Ανστιν γραψε στον Hilbert:

   "Χθες λαβα απ τη Δδα Νοτερ μια πολ ενδιαφρουσα εργασα σχετικ με τις αναλλοωτες. Με εντυπωσιζει το τι ττοια πργματα μπορον να γνουνε κατανοητ σ' να ττοιο γενικ τρπο. Η παλι φρουρ στο Γκτινγκεν θα πρπει να λβει κποια μαθματα απ τη Δδα Νοτερ! Φανεται να γνωρζει καλ το αντικεμενο της".

    Για παρδειγμα, αν να φυσικ σστημα συμπεριφρεται το διο, ανεξρτητα απ το πσο εναι προσανατολισμνο στο χρο, οι φυσικο νμοι που το διπουν εναι συμμετρικο εκ περιστροφς: Απ αυτ τη συμμετρα, το θερημα Νοτερ δεχνει τι η στροφορμ του συστματος πρπει να διατηρεται. Το φυσικ σστημα δεν χρειζεται να 'ναι συμμετρικ: νας οδοντωτς αστεροειδς πφτοντας στο διστημα διατηρε στροφορμ, παρ την ασυμμετρα του. Αντθετα, η συμμετρα των φυσικν νμων που διπουνε το σστημα εναι υπεθυνη για τον νμο διατρησης. Ως λλο παρδειγμα, αν να φυσικ περαμα χει το διο αποτλεσμα, σε οποιοδποτε μρος κι οποιαδποτε στιγμ, ττε οι νμοι του εναι συμμετρικο υπ συνεχες μεταβολς στο χρο και το χρνο: Απ το θερημα της Νοτερ, αυτς οι συμμετρες αντιπροσωπεουνε τους νμους διατρησης της γραμμικς ορμς κι ενργειας μες σ' αυτ το σστημα, αντστοιχα. Το θερημα Νοτερ χει γνει θεμελιδες εργαλεο της σγχρονης θεωρητικς φυσικς, τσο λγω της επγνωσης που δνει στους νμους διατρησης, αλλ κι ως να πρακτικ εργαλεο υπολογισμο. Το θερημα της, επιτρπει στους ερευνητς να προσδιορσουνε τις διατηρητες ποστητες απ τις παρατηρομενες συμμετρες ενς φυσικο συστματος. Αντιστρφως, διευκολνει τη περιγραφ ενς φυσικο συστματος που βασζεται στις κατηγορες των υποθετικν φυσικν νμων. Για παρδειγμα, ας υποθσουμε τι να νο φυσικ φαινμενο χει ανακαλυφθε. Το θερημα Νοτερ παρχει ναν λεγχο για θεωρητικ μοντλα του φαινομνου: αν η θεωρα χει μια συνεχ συμμετρα, ττε το θερημα εγγυται πως η θεωρα χει μια διατηρητα ποστητα και για να 'ναι η θεωρα σωστ, αυτ η διατρηση πρπει να εναι παρατηρσιμη σε πειρματα.

      Αν και τα αποτελσματα της 1ης εποχς της Νοτερ ταν εντυπωσιακ και χρσιμα, η φμη της ως μαθηματικς στηρζεται πιτερο στη πρωτοποριακ εργασα που κανε στη 2η και 3η εποχ της, πως σημεινεται απ τους Hermann Weyl και BL van der Waerden στις νεκρολογες τους γι' αυτν. Σ' αυτς τις εποχς της, δεν εφρμοσε απλς τις ιδες και τις μεθδους των προηγομενων μαθηματικν: αντθετα, γραφε να συστματα μαθηματικν ορισμν που θα χρησιμοποιονταν απ τους μελλοντικος. Ειδικτερα, ανπτυξε μιαν εντελς να θεωρα των ιδεωδν δακτυλων, γενικεοντας το προγενστερο ργο του Richard Dedekind. Εναι επσης γνωστ για το τι ανπτυξε συνθκες αξουσας αλυσδας, μια απλ συνθκη πεπερασμνων που απδωσε ισχυρ αποτελσματα στα χρια της. Αυτς οι συνθκες κι η θεωρα των ιδεωδν της επτρεψαν να γενικεσει πολλ παλιτερα αποτελσματα και να ασχοληθε με τα παλι προβλματα απ μια να προοπτικ, πως με τη θεωρα απαλοιφς και τις αλγεβρικς πολλαπλτητες που εχαν μελετηθε απ τον πατρα της.
    Σε αυτ την εποχ, γινε δισημη για την επιδξια χρση των συνθηκν αξουσας (Teilerkettensatz) φθνουσας (Vielfachenkettensatz) αλυσδας. Μια ακολουθα μη κενν υποσυνλων A1, A2, A3, κλπ απ ενς συνλου S συχν λγεται αξουσα, αν το καθνα εναι να υποσνολο του επμενου:



      Ανλογα, μια ακολουθα απ υποσνολα S λγεται φθνουσα εν το κθε υποσνολο περιχει το επμενο:



      Μια αλυσδα γνεται σταθερ μετ απ ναν πεπερασμνο αριθμ βημτων, αν υπρχει να ν ττοιο στε Αν = Αμ για κθε m ≥ ν. Μια συλλογ απ υποσνολα ενς συνλου ικανοποιε τη συνθκη αξουσας αλυσδας αν κθε αξουσα ακολουθα γνεται σταθερ μετ απ να πεπερασμνο αριθμ βημτων. Ικανοποιε τη συνθκη φθνουσας αλυσδας αν κθε φθνουσα ακολουθα γνεται σταθερ μετ απ να πεπερασμνο αριθμ βημτων. Οι συνθκες αξουσας και φθνουσας αλυσδας εναι γενικς, πργμα που σημανει τι μπορον να εφαρμοστονε σε πολλος τπους μαθηματικν αντικειμνων κι επιφανειακ, μπορε να μη φανονται πολ ισχυρς. Η Νοτερ δειξε το πς να εκμεταλλεονται αυτς τις συνθκες, μως, με το μγιστο φελος: για παρδειγμα, πς να τις χρησιμοποιες για να δεξεις τι κθε σνολο υπο-αντικειμνων χει να μγιστο / ελχιστο στοιχεο τι να σνθετο αντικεμενο μπορε να παραχθε απ να μικρτερο αριθμ στοιχεων. Τα συμπερσματα αυτ εναι συχν ζωτικς σημασας βματα σε μια απδειξη.
      Πολλ εδη αντικειμνων στην αφηρημνη λγεβρα μπορον να ικανοποισουν τις συνθκες της αλυσδας κι αν ικανοποιον μια συνθκη αξουσας αλυσδας, συχν καλονται Νουτεριαν προς τιμ της. Εξ ορισμο, νας Νουτεριανς δακτλιος ικανοποιε μια συνθκη αξουσας αλυσδας στα αριστερ και δεξι ιδεδη του, εν μια Νουτεριαν ομδα ορζεται ως μια ομδα στην οποα κθε γνησως αξουσα αλυσδα απ υποομδες εναι πεπερασμνη. να Νουτεριαν module εναι να module στο οποο κθε γνησως αξουσα αλυσδα απ υπο-modules διακπτει μετ απ να πεπερασμνο αριθμ. νας Νουτεριανς χρος εναι νας τοπολογικς χρος στον οποο κθε γνησως αξουσα αλυσδα ανοικτν υποχρων διακπτει μετ απ να πεπερασμνο αριθμ ρων: Ο ορισμς αυτς εναι φτιαγμνος τσι στε το φσμα ενς Νουτεριανο δακτυλου να εναι νας Νουτεριανς τοπολογικς χρος.

      Η συνθκη της αλυσδας συχν "κληρονομεται" απ τα υπο-αντικεμενα. Για παρδειγμα, λοι οι υποχροι ενς Νουτεριανο χρου, εναι Νουτεριανο κι οι διοι -λες οι υποομδες κι οι ομδες πηλκο μιας Νουτεριανς ομδας εναι ,παρομοως, Νουτεριανο- και τηρουμνων των αναλογιν, το διο ισχει και για υπο-modules και modules πηλκο ενς Νουτεριανο module. λοι οι δακτλιοι πηλκο ενς Νουτεριανο δακτυλου εναι Νουτεριανο, αλλ αυτ δεν ισχει απαρατητα για τους υποδακτυλους του. Η συνθκη αλυσδας μπορε επσης να κληρονομηθε απ συνδυασμος επεκτσεις ενς Νουτεριανο αντικειμνου. Για παρδειγμα πεπερασμνα ευθεα αθροσματα Νουτεριανν δακτυλων εναι Νουτεριαν, πως εναι ο δακτλιος της τυπικς δυναμοσειρς πνω σ' να Νουτεριαν δακτλιο.
      Μια λλη εφαρμογ ττοιων συνθηκν αλυσδας εναι στην επαγωγ σε Νουτεριανος -επσης γνωστ ως βσιμη επαγωγ- που εναι μια γενκευση της μαθηματικς επαγωγς. Συχν χρησιμοποιεται για να περιορσει γενικς προτσεις σχετικ με συλλογς αντικειμνων σε προτσεις σχετικ με συγκεκριμνα αντικεμενα αυτς της συλλογς. Ας υποθσουμε τι το S εναι να μερικς διατεταγμνο σνολο. νας τρπος για να αποδειχθε μια πρταση σχετικ με τα αντικεμενα του S εναι να υποθσουμε την παρξη ενς αντιπαραδεγματος και να αναχθομε σε μια αντφαση, αποδεικνοντας τσι την ρνηση της αρχικς πρτασης. Η βασικ προπθεση της Νουτεριανς επαγωγς εναι τι κθε μη κεν υποσνολο του S περιχει να ελχιστο στοιχεο. Ειδικτερα, το σνολο λων των αντιπαραδειγμτων περιχει να ελχιστο στοιχεο, το ελχιστο αντιπαρδειγμα. Για να αποδεξει την αρχικ πρταση, ως εκ τοτου, αρκε να αποδεξει κτι φαινομενικ πολ ασθενστερο: Για κθε αντιπαρδειγμα, υπρχει να μικρτερο αντιπαρδειγμα.
    Η εργασα της Νοτερ, Idealtheorie in Ringbereichen (Θεωρα των ιδεωδν σε τομες δακτυλων, 1921), εναι το θεμλιο της γενικς γενικς θεωρας αντιμεταθετικν δακτυλων και δνει ναν απ τους 1ους γενικος ορισμος ενς αντιμεταθετικο δακτυλου. Πριν απ την εργασα της, τα περισστερα αποτελσματα στην αντιμεταθετικ λγεβρα περιορστηκαν σε ειδικ παραδεγματα αντιμεταθετικν δακτυλων, πως οι δακτλιοι πολυωνμων πνω απ σματα οι δακτλιοι των αλγεβρικν ακεραων. Εκενη απδειξε τι σε να δακτλιο που ικανοποιε τη συνθκη αξουσας αλυσδας σε ιδεδη, κθε ιδεδες εναι πεπερασμνα παραγμενο. Το 1943, ο Γλλος μαθηματικς Claude Chevalley επινησε τον ρο, Νουτεριανς δακτλιος, για να περιγρψει αυτ την ιδιτητα. να σημαντικ αποτλεσμα της εργασας της το 1921 εναι το θερημα Λσκερ-Νοτερ, το οποο εκτενει το θερημα του Λσκερ για πρωτογεν δισπαση των ιδεωδν των δακτυλων πολυωνμων σε λους τους Νουτεριανος δακτυλους. Το θερημα Λσκερ-Νοτερ μπορε να θεωρηθε ως μια γενκευση του θεμελιδους θεωρματος της αριθμητικς το οποο αναφρει τι κθε θετικς ακραιος μπορε να εκφραστε ως προν πρτων αριθμν κι τι αυτ η δισπαση εναι μοναδικ.



     Το ργο της Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl-und Funktionenkörpern (Αφηρημνη Δομ της Θεωρας των Ιδεωδν στους Αλγεβρικος Αριθμος και Σματα Συναρτσεων, 1927), που χαρακτηρζεται απ τους δακτυλους στους οποους τα ιδεδη χουν μοναδικ παραγοντοποηση σε κρια ιδεδη, πως τα πεδα Dedekind: αναπσπαστα πεδα που εναι Νουτεριαν, διαστσεων 0 1, κι αναπσπαστα κλειστ στα σματα πηλκο τους. Αυτ η εργασα περιχει επσης αυτ που τρα λγονται τα θεωρματα ισομορφισμν, τα οποα περιγρφουν ορισμνους θεμελιδεις φυσικος ισομορφισμος και κποια λλα βασικ αποτελσματα για modules της Νοτερ και του Αρτν. Το 1923-24 εφρμοσε τη θεωρα ιδεωδν της στη θεωρα απαλοιφς -σε να σκεασμα που απδωσε στον μαθητ της, Kurt Hentzelt- δεχνοντας τι τα θεμελιδη θεωρματα για τη παραγοντοποηση πολυωνμων θα μποροσαν να μεταφερθον μεσα. Παραδοσιακ, η θεωρα απαλοιφς ασχολεται με την απαλοιφ ενς περισστερων μεταβλητν απ να σστημα πολυωνυμικν εξισσεων, συνθως με τη μθοδο των συνισταμνων. Για παρδειγμα, το σστημα των εξισσεων συχν μπορε να γραφτε με τη μορφ ενς πνακα M (που δεν περιχει τη μεταβλητ x) επ να δινυσμα v (χουν μνο διαφορετικς δυνμεις των x) με αποτλεσμα το μηδενικ δινυσμα, M.v = 0. Ως εκ τοτου, η ορζουσα του πνακα Μ πρπει να εναι μηδν, παρχοντας μια να εξσωση στην οποα η μεταβλητ Χ χει απαλειφθε.
      Τεχνικς πως η αρχικ μη κατασκευαστικ λση του Hilbert στο πρβλημα πεπερασμνης βσης δεν θα μποροσαν να χρησιμοποιηθον για να προυμε ποσοτικς πληροφορες σχετικ με τις αναλλοωτες της δρσης ομδας κι επιπλον, δεν σχυαν για λες τις δρσης ομδας. Στην εργασα της, το 1915, η Νοτερ βρκε λση στο πρβλημα της πεπερασμνης βσης για μια πεπερασμνη ομδα μετασχηματισμν G η οποα δρα σ' να πεπερασμνης διστασης διανυσματικ χρο πνω απ να σμα χαρακτηριστικς μηδν. Η λση της δεχνει τι ο δακτλιος των αναλλοωτων παργεται απ ομοιογενες αναλλοωτες των οποων ο βαθμς εναι μικρτερος σος με τη τξη της πεπερασμνης ομδας. Αυτ ονομζεται, δσμευση της Νοτερ. Η εργασα της δωσε 2 αποδεξεις της δσμευσης Νοτερ, αμφτερες απ τις οποες λειτουργον ταν η χαρακτηριστικ του σματος εναι σχετικ πρτη με το |G|, το παραγοντικ της τξης |G| της ομδας G. Ο αριθμς των γεννητριν δεν εναι απαρατητο να ικανοποιε τη δσμευση της Νοτερ ταν η χαρακτηριστικ του σματος διαιρε το |G| αλλ η Νοτερ δεν ταν σε θση να καθορσει αν η δσμευση τανε σωστ, ταν η χαρακτηριστικ του σματος διαιρε το |G| αλλ χι τη |G| . Για πολλ χρνια, ο προσδιορισμς της αλθειας του ψεδους της δσμευσης σε αυτ τη περπτωση ταν να ανοικτ πρβλημα που ονομστηκε το χσμα της Νοτερ. Τελικ επιλθηκε ξεχωριστ απ τον Fleischmann το 2000 και τον Fogarty το 2001, που κι οι 2 δειξαν τι η δσμευση εξακολουθε να ισχει.
     Στην εργασα της το 1926, επκτεινε το θερημα του Hilbert σε αναπαραστσεις μιας πεπερασμνης ομδας πνω απ κθε σμα, η να περπτωση που δεν προκπτει απ το ργο του Hilbert, εναι ταν η χαρακτηριστικ του σματος διαιρε τη τξη της ομδας. Το αποτλεσμ της επεκτθηκε αργτερα απ τον William Haboush σε λες τις αναγωγικς ομδες με την απδειξη του για την εικασα Mumford. Σε αυτ την εργασα της εισγαγε επσης το λμμα κανονικοποησης της Νοτερ, αποδεικνοντας τι μια πεπερασμνα παραγμενη περιοχ A πνω απ να σμα k χει να σνολο x1, ... , xn απ αλγεβρικ ανεξρτητα στοιχεα, πως κι τι η A εναι ακραια περιοχ πνω απ το k[x1, ... , xn].

    πως σημεωσαν οι Pavel Alexandrov και Hermann Weyl στις νεκρολογες τους, οι συνεισφορς της στη τοπολογα δεχνουνε τη γενναιοδωρα της με ιδες και πως οι ιδες της μποροσαν να μεταμορφσουν ολκληρους τομες των μαθηματικν. Στη τοπολογα, οι μαθηματικο μελετον τις ιδιτητες των αντικειμνων που παραμνουν αναλλοωτα ακμη και μετ απ παραμρφωση, ιδιτητες πως τη μεταξ τους σνδεση. να γνωστ αστεο εναι τι νας τοπολγος δεν μπορε να διακρνει να ντνατ απ μια κοπα καφ, δεδομνου τι μπορον να παραμορφνονται συνεχς το να στο λλο.
Συνεχς παραμρφωση (homotopy) φλυτζανιο
       σε ντνατ (τρος) κι αντστροφα

      Η Νοτερ πιστνεται με τις θεμελιδεις ιδες που οδηγσανε στην ανπτυξη της Αλγεβρικς Τοπολογας απ τη προηγομενη συνδυαστικ τοπολογα, συγκεκριμνα, με την ιδα των ομδων ομολογας. Σμφωνα με τον απολογισμ του Alexandrov, η Ντερ παρακολουθοσε διαλξεις του Heinz Hopf και του ιδου τα καλοκαρια του 1926 και του 1927, που κι "κανε συνεχς παρατηρσεις, οι οποες συχν ταν βαθις και λεπτς" και συνεχζει τι,

   "ταν 1η φορ ρθε σ' επαφ με μια συστηματικ κατασκευ της συνδυαστικς τοπολογας, αμσως παρατρησε τι θα ξιζε τον κπο να μελετσει μεσα τις ομδες αλγεβρικν συμπλκων και κκλων ενς δεδομνου πολυδρου και την υποομδα της κυκλικς ομδας που αποτελεται απ κκλους ομλογους με το μηδν, αντ του συνηθισμνου ορισμο των αριθμν Betti, πρτεινε αμσως τον ορισμ της ομδας Betti ως τη συμπληρωματικ (πηλκο) ομδα της ομδας λων των κκλων στην υποομδα των κκλων ομλογη με μηδν. Η παρατρηση αυτ φανεται πλον αυτονητη. μως εκενα τα χρνια (1925-1928) ταν μια εντελς να ποψη".

    Η πρταση της πως η τοπολογα πρπει να μελετηθε αλγεβρικ, υιοθετθηκε αμσως απ τους Hopf, Alexandrov, κι λλους κι γινε να συχν θμα συζτησης ανμεσα στους μαθηματικος του Γκτινγκεν. Η Νοτερ παρατρησε τι η ιδα της για μια ομδα Betti κνει τον τπο των Euler-Poincaré πιο απλ να κατανοηθε και το ργο του Hopf για το θμα αυτ "φρει το αποτπωμα αυτν των παρατηρσεων της μι Νοτερ". Η Νοτερ αναφρει τις ιδες της για τη τοπολογα μνον ως να μρος σε μια δημοσευση του 1926, που τις παραθτει ως εφαρμογ της θεωρας ομδων. Η αλγεβρικ προσγγιση στη τοπολογα αναπτχθηκε ανεξρτητα στην Αυστρα. Σε μια σειρ μαθημτων το 1926-1927 στη Βιννη, ο Leopold Vietoris ρισε μια ομδα ομολογας, η οποα αναπτχθηκε απ τον Walther Mayer, σε ναν αξιωματικ ορισμ το 1928.
    Μεγλο μρος της ρευνας πνω στους υπερμιγαδικος αριθμος και στην ομδα αναπαραστσεων διεξχθη τον 19ο και στις αρχς του 20ο αι., αλλ παρμεινε ασνδετη. Η Νοτερ νωσε τα αποτελσματα και παρδωσε τη 1η γενικ θεωρα αναπαρστασης των ομδων και των αλγεβρν. Εν συντομα, ενταξε τη θεωρα των δομν των συνδυαστικν αλγεβρν και την θεωρα αναπαρστασης των ομδων σε μια ενιαα αριθμητικ θεωρα των modules και των ιδεωδν σε δακτυλους που πληρονε τις συνθκες αξουσας αλυσδας . Αυτ το ενιαο ργο της ταν θεμελιδους σημασας για την ανπτυξη της σγχρονης λγεβρας.


                                Η Νοτερ με... εκλεκτ παρα 1932

    ταν επσης υπεθυνη για μια σειρ λλων εξελξεων στον τομα της λγεβρας. Μαζ με τους Emil Artin, Richard Brauer και Helmut Hasse, δημιοργησε τη θεωρα των κεντρικν απλν αλγεβρν. Μια πρωτοποριακ εργασα απ την Νοτερ, τον Helmut Hasse και τον Richard Brauer αναφρεται σε λγεβρες με διαρεση, που εναι αλγεβρικ συστματα στα οποα η διαρεση εναι δυνατ. Απδειξαν 2 σημαντικ θεωρματα: να τοπικ-παγκσμιο θερημα που δηλνει τι αν μια πεπερασμνων διαστσεων κεντρικ λγεβρα με διαρεση πνω απ να σμα αριθμν διασπται τοπικ παντο, ττε διασπται σε παγκσμιο εππεδο (οπτε εναι ασμαντο) κι απ αυτ, συνγεται το Hauptsatz τους («κριο θερημα»): κθε πεπερασμνων διαστσεων κεντρικ λγεβρα με διαρεση πνω απ να αλγεβρικ σμα αριθμν F διασπται πνω σε μια κυκλικ κυκλοτομικ επκταση. Αυτ τα θεωρματα επιτρπουνε τη ταξινμηση λων των πεπερασμνων διαστσεων κεντρικν αλγεβρν με διαρεση πνω απ να συγκεκριμνο σμα αριθμν. Μια επμενη εργασα της δειξε, ως ειδικ περπτωση ενς γενικτερου θεωρματος, τι λα τα μγιστα υποσματα λγεβρας με διαρεση D εναι σματα δισπασης. Αυτ η εργασα περιχει επσης το θερημα Skolem-Νοτερ το οποο ορζει τι οποιεσδποτε 2 ενσωματσεις μιας επκτασης του σματος k σε μια πεπερασμνης διστασης κεντρικ απλ λγεβρα πνω απ το k, αποτελονε σζευξη. Το θερημα Brauer-Νοτερ δνει να χαρακτηριστικ των σωμτων δισπασης μιας κεντρικς λγεβρας με διαρεση πνω απ να σμα.


        Το Emmy Noether Campus στο Πανεπιστμιο Siegen
         στεγζει σμερα τα τμματα μαθηματικν & φυικς

    Το ργο της συνεχζει να εναι σημαντικ για την ανπτυξη της θεωρητικς φυσικς και των μαθηματικν κι αυτ σταθερ συμπεριλαμβνεται στους μεγαλτερους μαθηματικος του 20ου αι. Στη νεκρολογα του, ο συνδελφος αλγεβριστς BL van der Waerden αναφρει τι οι μαθηματικ πρωτοτυπα της ταν απλυτη πρα απ κθε σγκριση, κι ο Hermann Weyl επε τι λλαξε το πρσωπο της λγεβρας με το ργο της. Στη διρκεια της ζως της, ακμη μχρι και σμερα, χει χαρακτηριστε ως η σπουδαιτερη γυνακα μαθηματικς στη καταγραμμνη ιστορα απ μαθηματικος, πως οι Pavel Alexandrov, Hermann Weyl και Jean Dieudonné. Σε επιστολ του προς τους New York Times, ο λμπερτ Ανστιν γραψε:

   "Αν θλουμε να κρνουμε τους πιο ικανος μαθηματικος εν ζω, η Fräulein Νοτερ ταν η πιο σημαντικ δημιουργικ μαθηματικ ιδιοφυα που χει εμφανιστε μχρι στιγμς απ τη στιγμ που ξεκνησε η 3βθμια εκπαδευση των γυναικν. Στον τομα της λγεβρας, στην οποα οι πιο ταλαντοχοι μαθηματικο απασχολονται για αινες, ανακλυψε μεθδους που χουν αποδειχθε τερστιας σημασας για την ανπτυξη της σημερινς νετερης γενις των μαθηματικν".
     
    Στις 2 Γενρη 1935, λγους μνες πριν τον θνατο της, ο μαθηματικς Norbert Wiener γραψε τα εξς:

   "Η δις Νοτερ εναι η σπουδαιτερη γυνακα μαθηματικς που χει εμφανιστε ποτ κι επσης η σπουδαιτερη γυνακα επιστμονας εν ζω σε οποιουδποτε εδος και μελεττρια τουλχιστον στο εππεδο της Μαντμ Κιουρ".

    Στη Διεθν κθεση του 1964 που αφιερνεται στους Σγχρονους Μαθηματικος, η Νοτερ ταν η μνη γυνακα μεταξ των αξιοσημεωτων μαθηματικν του σγχρονου κσμου. Η Νοτερ επσης χει τιμηθε με διφορα βραβεα:


* Ο Σλλογος για τις Γυνακες στα Μαθηματικ απονμει μια Διλεξη της Νοτερ για να τιμσει τις γυνακες στα μαθηματικ κθε χρνο, το 2005, στο φυλλδιο για το γεγονς, ο Σλλογος τη χαρακτηρζει ως "μια απ τους μεγλους μαθηματικος της εποχς της, κποια που δολεψε και αγωνστηκε για αυτ που αγαποσε και πστευε. Η ζω και το ργο της παραμνουν μια τερστια πηγ μπνευσης".

 * Συνεπς με την αφοσωσ της στους μαθητς της, το Πανεπιστμιο του Siegen στεγζει το τμμα μαθηματικν και φυσικς του σε κτρια στη πανεπιστημιοπολη μι Νοτερ.

 * Το Γερμανικ δρυμα ρευνας (Deutsche Forschungsgemeinschaft) λειτουργε το πργραμμα μι Νοτερ, μια υποτροφα που παρχει χρηματοδτηση για τους πολλ υποσχμενους νεαρος μεταδιδακτορικος επιστμονες στην περαιτρω ρευνα τους και στις εκπαιδευτικς δραστηριτητες τους.

 * Μια οδς στη γεντεια πλη της, το ρλαγκεν, χει πρει το νομα της και του πατρα της, Μαξ Νοτερ.


 * Το σχολεο που διαδχτηκε το γυμνσιο της στο ρλαγκεν, μετονομστηκε σε σχολεο της μι Νοτερ.


 * O χαρακτρας Emmy Nutter (μι Τρελ), η καθηγτρια φυσικς στο μυθιστρημα The God Patent του Ransom Stephens, βασζεται σ' αυτν.

 * Ο κρατρας Nöther της αθατης πλευρς της Σελνης πρε το νομα της.


 * Ο αστεροειδς 7001 Νοτερ επσης ονομστηκε τσι απ αυτν.




__________________________

 

 

Web Design: Granma - Web Hosting: Greek Servers